a) O símbolo ⇒ representa “implica”. Para demonstrar essa implicação, devemos trocar ⇒ por → e encontrar uma tautologia.

(𝑝 → 𝑞) ∧ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑝

(𝑝 → 𝑞) ∧ ¬𝑞 → ¬𝑝

¬[(𝑝 → 𝑞) ∧ ¬𝑞] ∨ ¬𝑝

[¬(𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑞] ∨ ¬𝑝

[¬(¬𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑞] ∨ ¬𝑝

[(𝑝 ∧ ¬𝑞) ∨ 𝑞] ∨ ¬𝑝

[(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑞 ∨ 𝑞)] ∨ ¬𝑝

[(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑇] ∨ ¬𝑝

(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ ¬𝑝

(𝑝 ∨ ¬𝑝) ∨ 𝑞

𝑇 ∨ 𝑞

b) 𝑝 ⇒ (𝑞 → 𝑝)

𝑝 → (𝑞 → 𝑝)

¬𝑝 ∨ (𝑞 → 𝑝)

¬𝑝 ∨ (¬𝑞 ∨ 𝑝)

(¬𝑝 ∨ 𝑝) ∨ ¬𝑞

𝑇 ∨ ¬𝑞

𝑇

c) (𝑝 → 𝑞) ⇔ (𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑞

Nesse caso, temos uma equivalência. Podemos demonstrar a equivalência tomando uma das proposições e tentar chegar à outra igualdade.

(𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑞

¬(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑞

(¬𝑝 ∧ ¬𝑞) ∨ 𝑞

(¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑞 ∨ 𝑞)

(¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑇

¬𝑝 ∨ 𝑞

𝑝 → 𝑞

∴ (𝑝 → 𝑞) ⇔ (𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑞

O símbolo ∴ é usado para representar a palavra “portanto”.

d) (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑝 → ¬𝑞) ⇔ ¬𝑝

(𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑝 → ¬𝑞)

(¬𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑝 ∨ ¬𝑞)

[(¬𝑝 ∧ (¬𝑝 ∨ ¬𝑞)] ∨ [(𝑞 ∧ (¬𝑝 ∨ ¬𝑞)]

¬𝑝 ∨ [(𝑞 ∧ ¬𝑝) ∨ (𝑞 ∧ ¬𝑞)]

¬𝑝 ∨ [(𝑞 ∧ ¬𝑝) ∨ 𝐶]

¬𝑝 ∨ (𝑞 ∧ ¬𝑝)

¬𝑝

∴ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑝 → ¬𝑞) ⇔ ¬𝑝