Primeiramente, observe que:

𝑥² + 𝑥 + 1 = 𝑥(𝑥 + 1) + 1

Por que fizemos isso? A ideia é trabalhar com um polinômio de grau mais baixo possível, de forma que possamos obter as informações mais facilmente e, se possível, de maneira direta.

Nesse caso, é útil tentar evidenciar o termo (𝑥 + 1), pois ele compõe o polinômio divisor.

Usando o binômio de Newton, temos que:

Ou seja, a partir do expoente 3 dos termos do binômio, podemos colocar em evidência (𝑥 + 1)³, veja:

Dessa forma, temos que (1 + 𝑥 + 𝑥²)⁴⁰ possui o mesmo resto que

Na divisão por (𝑥 + 1)³.

Vamos usar a mesma ideia para tentar simplificar ainda mais o polinômio obtido. Antes de continuar, veja que:

(𝑥 + 1)³ = 𝑥³ + 3𝑥² + 3𝑥 + 1

No polinômio ℎ(𝑥), obtido acima, temos que a única parcela candidata a possuir algum fator (𝑥 + 1)³ é 780𝑥² (𝑥 + 1)². Vamos tentar evidenciar esse fator. Veja:

𝑥²(𝑥 + 1)² = 𝑥(𝑥³ + 2𝑥² + 𝑥) = 𝑥(𝑥³ + 3𝑥² + 3𝑥 + 1 − 𝑥² − 2𝑥 − 1)

= 𝑥(𝑥 + 1)³ − (𝑥³ + 2𝑥 + 𝑥) = 𝑥(𝑥 + 1)³ − (𝑥 + 1)³ + (𝑥 + 1)²

Dessa forma, em nossa análise do resto da divisão, podemos desprezar as parcelas 𝑥(𝑥 + 1)³ − (𝑥 + 1)³, de modo que restará apenas o polinômio:

780(𝑥 + 1)² + 40𝑥(𝑥 + 1) + 1

Esse polinômio possui grau 2, de modo que não é mais possível evidenciar um fator (𝑥 + 1)³, pois ele é do terceiro grau. Disso, concluímos que esse polinômio é o próprio resto.

𝑟(𝑥) = 780(𝑥 + 1)² + 40𝑥(𝑥 + 1) + 1

Lembre-se que o termo constante de um polinômio é obtido fazendo 𝑥 = 0, logo:

𝑟(0) = 780 + 1 = 781