O GPS (sigla em inglês para sistema global de posicionamento) é composto por uma malha de 24 satélites que orbitam a Terra a uma altitude fixa e com velocidade constante. Nesses satélites estão instalados relógios atômicos que podem aferir o tempo com precisão de nanossegundos. Os satélites emitem ondas eletromagnéticas que se propagam com a velocidade da luz c. Essas ondas são codificadas de modo a fornecer as coordenadas do satélite e o instante em que o sinal foi emitido. Num certo instante t, o receptor capta os sinais de vários satélites e, a partir dos sinais obtidos de quatro satélites distintos, calcula as coordenadas (x, y, Z) do receptor e o instante de tempo da recepção. A figura a seguir representa uma versão unidimensional de um GPS, na qual os satélites foram substituídos por duas antenas fixas que emitem sinais informando suas posições e os instantes da emissão (X₁, t₁) e (K₂, t₂). Um veiculo equipado com um GPS, que se move em uma dimensão, pode ter sua localização X e o instante t conhecidos, obtendo simultaneamente os sinais das duas antenas.
Considerando o exposto, determine:
a) as equações que fornecem a posição e o instante de tempo do veiculo (X e t) em função das coordenadas das antenas, dos instantes de emissão e da velocidade da luz c; (3,0 pontos)
b) a posição do veiculo e sua distancia da antena mais próxima, quando t₁=2T e t₂=T, em função de X₁,L e T.