GABARITO: ALTERNATIVA B.

Primeiramente, observe que 𝑝(𝑥) pode ser escrito como:

𝑝(𝑥) = (2𝑥)³ − (2𝑥)² − 21(2𝑥) + 45

Isso sugere a seguinte substituição de variável:

𝑦 = 2𝑥

Ou seja:

𝑝(𝑦) = 𝑦³ − 𝑦² − 21𝑦 + 45

Uma ferramenta muito importante em questões onde não sabemos por onde começar a resolução do polinômio é testar se ele possui raízes racionais.

Lembre-se que se 𝑝(𝑦) possui raízes 𝑦 = 𝑝/𝑞, racionais, devemos ter:

𝑝|45 𝑒 𝑞|1

Fatorando 45, vem:

45 = 1 ∙ 3²∙ 5

Ou seja:

𝑝 ∈ {±1, ± 3, ±9, ± 5, ± 15, ± 45}

𝑞 ∈ {±1}

Do que temos que:

𝑝/𝑞 ∈ {±1, ± 3, ±9, ± 5, ± 15, ± 45}

Vamos testar da menor positiva para a maior positiva:

𝑝/𝑞 = 1 ⇒ 𝑝(1) = 1 − 1 − 21 + 45 = 24 ≠ 0

𝑝/𝑞 = 3 ⇒ 𝑝(3) = 3³ − 3² − 21 ∙ 3 + 45 = 0

Temos então que 𝑦 = 3 é raiz de 𝑝(𝑦). Vamos usar Brio-Ruffini para reduzir o grau do polinômio:

Dessa forma, podemos escrever:

𝑝(𝑦) = (𝑦 − 3)(𝑦² + 2𝑦 − 15)

Resolvendo a equação do segundo grau, temos que 𝑦 = 3 𝑜𝑢 𝑦 = −5. Voltando ao polinômio inicial, temos:

𝑝(𝑥) = 8𝑥³ − 4𝑥² − 42 + 45 = (2𝑥 − 3)² (2𝑥 + 5) = 4 (𝑥 − 3/2)² (2𝑥 + 5)

Ou seja, 𝑟 = 3/2.