GABARITO: ALTERNATIVA C

Um sistema linear de duas equações e duas variáveis admite infinitas soluções (é um Sistema Possível e Indeterminado - SPI) quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero e as equações são proporcionais (dependentes).

A matriz dos coeficientes do sistema é

O determinante D é:

𝐷 = (𝑎)(𝑎) − (−1)(4 − 5𝑎² )

𝐷 = 𝑎² + (4 − 5𝑎² ) = 4 − 4𝑎²

Para que o sistema seja SPI ou SI (Impossível), o determinante deve ser nulo:

𝐷 = 0 ⟹ 4 − 4𝑎² = 0 ⟹ 4𝑎² = 4 ⟹ 𝑎² = 1

Os possíveis valores para a são 𝑎 = 1 e 𝑎 = −1.

Agora, testamos cada valor de 𝑎 no sistema original.

Caso 1: 𝒂 = 𝟏

O sistema se torna:

A segunda equação pode ser reescrita como 𝑥 − 𝑦 = −1. Temos 𝑥 − 𝑦 = 1 e 𝑥 − 𝑦 = −1, o que é uma contradição. Este é um Sistema Impossível (SI), sem solução.

Caso 2: 𝒂 = −𝟏

O sistema se torna:

As duas equações são idênticas. Isso significa que qualquer par (x, y) que satisfaça a primeira equação também satisfará a segunda. O sistema tem infinitas soluções (SPI).

Portanto, o valor de 𝑎 para o qual o sistema admite infinitas soluções é -1.