GABARITO: ALTERNATIVA D

Vamos resolver da seguinte forma: Associaremos a aparição do fator de um algarismo a um polinômio. Por exemplo, o 3 só possui um fator no multiconjunto. Portanto, o polinômio associado a ele é:

3 ⇒ (𝑥⁰ + 𝑥¹) = 1 + 𝑥

Pois dentre todos os produtos possíveis o 3 pode estar ou não estar presente. Ou seja, as potências de 𝑥 indicam a quantidade possíveis de fatores desse algarismo a ser utilizados no produto. Agora, para os demais:

4 ⇒ 1 + 𝑥 + 𝑥²

5 ⇒ 1 + 𝑥 + 𝑥²

11 ⇒ 1 + 𝑥

7 ⇒ 1 + 𝑥 + 𝑥² + 𝑥³

Agora, fazemos o produto de todos esses polinômios:

𝑃 = (1 + 𝑥)²(1 + 𝑥 + 𝑥²)²(1 + 𝑥 + 𝑥² + 𝑥³)

Veja que, como todos os algarismos do subconjunto são primos entre si, o coeficiente da potência 𝑥ⁿ do produto acima indica de quantas maneiras distintas pode-se obter um produto com 𝑛 fatores usando aqueles números acima. Assim, para responder ao enunciado basta nós somarmos os coeficientes das potências maiores ou iguais a 2, isto é, coeficiente de 𝑥², 𝑥³, 𝑥⁴ … , 𝑥⁷, 𝑥⁸, 𝑥⁹. Assim:

Portanto, o valor pedido é a soma dos coeficientes das potências de 2 a 9:

13 + 23 + 30 + 30 + 23 + 13 + 5 + 1 = 138