Podemos comparar os expoentes:

0 < |𝑥² − 𝑥| < 2

Agora, temos duas inequações:

|𝑥² − 𝑥| > 0

|𝑥(𝑥 − 1)| > 0

Como o módulo de qualquer número é maior ou igual a zero, temos nessa desigualdade:

⇒ 𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑥 ≠ 1

|𝑥² − 𝑥| < 2

−2 < 𝑥² − 𝑥 < 2

Resolvendo cada uma separadamente:

𝑥² − 𝑥 + 2 > 0 ⇒ Δ = 1 − 8 = −7 < 0 ⇒ 𝑥² − 𝑥 + 2 > 0, ∀𝑥 ∈ ℝ

𝑥² − 𝑥 − 2 < 0

(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) < 0

Analisando o sinal dessa inequação, encontramos:

−1 < 𝑥 < 2

Fazendo a intersecção das soluções, obtemos:

𝑆 = ] − 1, 0[ ∪ ]0, 1[ ∪ ]1, 2[

Substituindo 3ˣ = 𝑦, temos:

√(𝑦² − 9𝑦) > 𝑦 − 9

Analisando a condição de existência:

𝑦² − 9𝑦 > 0

𝑦(𝑦 − 9) > 0

Estudando o sinal, encontramos:

𝑦 < 0 𝑜𝑢 𝑦 > 9

Como 𝑦 = 3ˣ > 0, ∀𝑥 ∈ ℝ, temos uma única condição:

3ˣ > 3² ⇒ 𝑥 > 2

Agora, vamos dividir a inequação em dois casos:

Caso 1) Se o lado direito for negativo, qualquer 𝑦 que esteja na condição de existência será solução.

Não convém, devido a condição de existência 𝑥 > 2.

Caso 2) Se o lado direito for positivo. Podemos elevar ambos os membros ao quadrado e analisar a inequação:

𝑦² − 9𝑦 > (𝑦 − 9)²

𝑦² − 9𝑦 > 𝑦² − 18𝑦 + 81

9𝑦 > 81

𝑦 > 9 ⇒ 3ˣ > 3² ⇒ 𝑥 > 2

Portanto, 𝑥 > 2 satisfaz a inequação:

𝑆 = (2, +∞)

c) 25 ∙ 2ˣ − 10𝑥 + 5ˣ > 25

Fatorando as expressões:

25 ∙ 2ˣ − 2ˣ5ˣ + 5ˣ − 25 > 0

2ˣ (25 − 5ˣ) − (25 − 5ˣ) > 0

(2ˣ − 1)(25 − 5ˣ) > 0

Agora, basta analisar os dois casos possíveis:

Nesse caso, temos o intervalo ]0, 2[.

Não temos solução nesse caso, pois 𝑥 < 0 e 𝑥 > 2.

Portanto, temos a solução:

𝑆 = ]0, 2[

Vamos verificar o discriminante da expressão quadrática 4𝑥² + 2𝑥 + 1:

Δ = 4 − 16 = −12 < 0

Portanto, essa expressão sempre resulta em valores positivos.

Então, temos dois casos possíveis:

Para o primeiro caso:

Como 4𝑥² + 2𝑥 + 1 > 1, temos:

𝑥² − 𝑥 > 0

𝑥(𝑥 − 1) > 0

⇒ 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 > 1

𝑆₁ =] − ∞, 0[ ∪ ]1, +∞[

4𝑥² + 2𝑥 > 0

2𝑥(2𝑥 + 1) > 0

⇒ 𝑥 < −(1/2) 𝑜𝑢 𝑥 > 0

𝑆₂ =] − ∞, −(1/2) [ ∪ ]0, +∞[

Fazendo a intersecção das soluções, encontramos:

𝑆 = 𝑆₁ ∩ 𝑆₂ =] − ∞, −1/2[ ∪ ]1, +∞[

Para o segundo caso:

Como 0 < 4𝑥² + 2𝑥 + 1 < 1, temos:

𝑥² − 𝑥 < 0

𝑥(𝑥 − 1) < 0

⇒ 0 < 𝑥 < 1

𝑆₃ = ]0, 1[

4𝑥² + 2𝑥 + 1 < 1

2𝑥(2𝑥 + 1) < 0

⇒ − (1/2) < 𝑥 < 0

𝑆₄ = ] − (1/2), 0[

Fazendo a intersecção das soluções:

𝑆 = 𝑆₃ ∩ 𝑆₄ = ∅

Portanto, a solução do problema é dada por:

𝑆 ==] − ∞, −1/2[ ∪ ]1, +∞[

Analisando a condição de existência:

𝑥 ≥ 0

Substituindo

= 𝑦:

𝑦 − (2/𝑦) ≤ 1

(𝑦²−𝑦−2)/𝑦 ≤ 0

Temos apenas um caso possível, pois 𝑦 =

> 0.

Então, precisamos resolver apenas a inequação:

𝑦² − 𝑦 − 2 ≥ 0

(𝑦 − 2)(𝑦 + 1) ≥ 0

⇒ 𝑦 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 2

Como 𝑦 > 0, temos:

f) 8ˣ + 18ˣ − 2 ∙ 27ˣ > 0

Reescrevendo a inequação, temos:

2³ˣ + 2ˣ3²ˣ − 2 ∙ 3³ˣ > 0

Dividindo a inequação por 3³ˣ:

(2/3)³ˣ + (2/3)ˣ − 2 > 0

Fazendo 𝑦 = (2/3)ˣ:

𝑦³ + 𝑦 − 2 > 0

Fatorando:

𝑦³ + 𝑦 − 1 − 1 > 0

(𝑦³ − 1) + (𝑦 − 1) > 0

(𝑦 − 1)(𝑦² + 𝑦 + 1 + 1) > 0

(𝑦 − 1)(𝑦² + 𝑦 + 2) > 0

Como 𝑦² + 𝑦 + 2 possui Δ = −7 < 0, ela sempre será positiva. Então:

𝑦 − 1 > 0 ⇒ (2/3)ˣ > 1 ⇒ (3/2)−ˣ > 1 ⇒ −𝑥 > 0

𝑥 < 0

Atente-se ao valor numérico da base, pois se a base for menor do que 1, a desigualdade é invertida!

𝑆 =] − ∞, 0[