GABARITO:ALTERNATIVA "A"

Num triangulo qualquer, precisamos saber que as medianas dividem o triângulo em 6 triângulos de áreas iguais, observe:

Logo, a área do triângulo seria dada por:

𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6𝑆₁ (𝐼)

Além disso, o baricentro divide as medianas numa razão 2:1. Sabendo disso, temos os conhecimentos teóricos para resolver essa questão.

Essa questão traz uma construção muito interessante no triângulo ABC, de forma a mostrar um triangulo semelhante ao triângulo DEF. Observe:

Como o triângulo DEF possui lados de medidas iguais às medianas de ABC, temos que eles medem 3𝑎, 3𝑏 𝑒 3𝑐.

G é o baricentro do triângulo ABC. G’ foi construído auxiliarmente de forma que 𝐺𝑀 = 𝑀𝐺′ = 𝑎. Como 𝐺𝑀̂𝐵 = 𝐺𝑀̂𝐶, temos por LAL que Δ𝐺𝑀𝐵 ≡ Δ𝐺′𝑀𝐶, logo 𝐺𝐵 = 𝐺′𝐶 = 2𝑏. Portanto, o triângulo GCG’ é semelhante ao triangulo DEF pelo critério LLL com razão de semelhança 𝑘 = 2/3 , assim:

E pela figura e pela equação (𝐼), chegamos em:

Substituindo (𝐼𝐼𝐼) em (𝐼𝐼):