GABARITO: ALTERNATIVA E

I. Falsa.

Podemos ter o seguinte quadrilátero que não é losango:

II. Verdadeira.

Como os triângulos tem mesma área, temos [𝐴𝑂𝐷] = [𝐴𝑂𝐵] = [𝐵𝑂𝐶] = [𝐶𝑂𝐷].

Assim, analisando [𝐴𝑂𝐷] = [𝐶𝑂𝐷], percebemos que ambos os triângulos tem mesma altura em relação às bases 𝐴𝑂 e 𝑂𝐶. Logo, 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶.

Da mesma forma, analisando [𝐴𝑂𝐷] = [𝐴𝑂𝐵], vemos que os triângulos tem mesma altura em relação às bases 𝑂𝐷 e 𝑂𝐵. Portanto, 𝑂𝐷 = 𝑂𝐵.

Concluímos que 𝑂 é ponto médio das diagonais 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷. Pelo critério de congruência 𝐿𝐴𝐿, temos 𝐴𝑂𝐷 ≡ 𝐵𝑂𝐶 ⇒ 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 e 𝐴𝑂𝐵 ≡ 𝐶𝑂𝐷 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷. Além disso temos uma relação de paralelismo com os lados opostos do quadrilátero, ou seja, 𝐴𝐵𝐶𝐷 é paralelogramo.

III. Verdadeira.

Se a interseção das diagonais é o centro 𝑂do círculo que circunscreve 𝐴𝐵𝐶𝐷, temos que ela vai ser equidistante dos vértices, logo:

𝑂 é ponto médio de duas diagonais congruentes, logo, temos um retângulo.