GABARITO: ALTERNATIVA A.

Para encontrarmos o ponto simétrico de A, precisamos determinar a projeção ortogonal 𝑄 desse ponto sobre a reta 𝑟. Temos que:

𝑟: 2𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0

2𝑦 = −2𝑥 + 1

𝑦 = (−2𝑥 +1)/2

𝑚𝑟 = − 2/2 = −1

Logo, o coeficiente angular da reta 𝑠, perpendicular a 𝑟, é igual a 1.

Sabendo que a reta 𝑠 passa por A, podemos utilizar a fórmula da equação fundamental da reta:

𝑦 − 𝑦₀ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₀)

𝑦 − 1 = 1 ∙ (𝑥 − 1)

𝑦 − 1 = 𝑥 − 1

𝑦 = 𝑥

A projeção ortogonal de A sobre 𝑟 é dada pela intersecção entre 𝑟 e 𝑠. Logo:

2𝑥 + 2𝑦 −1 = 0

2𝑥 +2𝑥 − 1 = 0

4𝑥 = 1

𝑥 = 1/4

Como 𝑥 = 𝑦, as coordenadas da projeção ortogonal são 𝑄 (1/4, 1/4).

A projeção ortogonal Q é o ponto médio entre A e seu simétrico, A’. Portanto:

(1 + 𝑥)/2 = 1/4

4 + 4𝑥 = 2

4𝑥 = −2

𝑥 = − 2/4 = − 1/2

Para calcular a ordenada desse ponto:

(1 + 𝑦)/2 = 1/4

4+ 4𝑦 = 2

4𝑦 = −2

𝑦 = − 2/4 = − 1/2

Portanto, o ponto simétrico de A é dado por 𝐴′ (− 1/2, − 1/2).

Soma das coordenadas: − 1/2 − 1/2 = − 2/2 = −1.