GABARITO: ALTERNATIVA E.

Lembrando do capítulo de mudança de base:

Um número na base 𝑏 pode ser escrito no sistema decimal da seguinte forma:

Do enunciado:

𝑁ₓ = 1041

𝑁ₓ ₋ ₁ = 1431

Vamos representar 𝑁 no sistema decimal.

De 𝑁ₓ:

𝑁 = 1 ∙ 𝑥³ + 0 ∙ 𝑥² + 4 ∙ 𝑥¹ + 1 ∙ 𝑥⁰ = 𝑥³ + 4𝑥 + 1

De 𝑁ₓ ₋ ₁:

𝑁 = 1 ∙ (𝑥 − 1)³ + 4 ∙ (𝑥 − 1)² + 3 ∙ (𝑥 − 1)¹ + 1 ∙ (𝑥 − 1)⁰ =

𝑥³ − 3𝑥² + 3𝑥 − 1 + 4(𝑥² − 2𝑥 + 1) + 3(𝑥 − 1) + 1 =

𝑥³ − 3𝑥² + 3𝑥 − 1 + 4𝑥² − 8𝑥 + 4 + 3𝑥 − 3 + 1 =

𝑥³ + 𝑥² − 2𝑥 + 1

Igualando as duas expressões, obtemos:

𝑥³ + 4𝑥 + 1 = 𝑥³ + 𝑥² − 2𝑥 + 1

⇒ 𝑥² − 6𝑥 = 0

⇒ 𝑥(𝑥 − 6) = 0

𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 6

Como 𝑥 ∈ ℕ e 𝑥 > 2:

𝑥 = 6

Vamos encontrar o valor decimal de 𝑁:

𝑁 = 𝑥³ + 4𝑥 + 1 = 6³ + 4 ∙ 6 + 1 = 216 + 24 + 1 = 241

Para transformar 𝑁 em binário, podemos dividi-lo por 2 sucessivamente ou escrevê-lo em função das potências de 2 (já que os algarismos só podem assumir os valores 1 ou 0).

Por divisão sucessiva:

𝑁₂ = 11110001

Para escrever em função das potências de 2, podemos analisar da seguinte forma:

Vemos a maior potência que é menor ou igual ao número:

2⁷ = 128 < 241

Subtraímos 1 do expoente da potência de 2 e somamos à potência acima:

2⁶ = 64 ⇒ 2⁷ + 2⁶ = 128 + 64 = 192 < 241

Como o resultado continua menor que o número, seguimos somando as potências de 2 até formar o número dado:

2⁷ + 2⁶ + 2⁵ = 192 + 32 = 224 < 241

2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ = 224 + 16 = 240 < 241

2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2³ = 240 + 8 = 248 > 241

Agora, a soma resultou em um número maior que 241. Devemos passar para a próxima potência e ir tentando até formar o número.

Perceba que falta apenas 1 no número, assim:

2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2⁰ = 241

Escrevendo 241 em função de todas as potências de 2, temos:

241 = 1 ∙ 2⁷ + 1 ∙ 2⁶ + 1 ∙ 2⁵ + 1 ∙ 2⁴ + 0 ∙ 2³ + 0 ∙ 2² + 0 ∙ 2¹ + 1 ∙ 2⁰

⇒ 241 = (11110001)₂

Esse método se baseia na tentativa e erro. Funciona bem para os binários, já que os algarismos apenas assumem os valores 1 ou 0.