GABARITO: H(13, -3) e A = 12

Sejam

os vértices desse triângulo. Sejam 𝑀, 𝑁, 𝑃 os pontos médios dos segmentos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐴𝐶, sem perda de generalidade. Portanto:

Subtraindo a terceira equação pela quinta e combinando com a primeira, temos:

Agora, subtraindo a segunda pela quarta e combinando com a sexta:

Logo, 𝐴(−1,−3), 𝐵(3, 7) e 𝐶(3, 1). Seja 𝐻(𝑥, 𝑦) o ortocentro desse triângulo. Então 𝐴𝐻 é perpendicular a 𝐵𝐶. Como a B e C possuem a mesma abcissa, temos que a reta que determina 𝐴𝐻 é:

𝑦 = −3 (𝐼)

Podemos encontrar a reta 𝐵𝐻 usando o coeficiente angular de 𝐴𝐶:

= 4/4 = 1

= −1

A reta 𝐵𝐻 é:

𝑦 −7 = −(𝑥 − 3)

𝑦 = −𝑥 + 10 (𝐼𝐼)

Igualando as equações para encontrar 𝐻:

−3 = −𝑥 +10

𝑥 = 13

Logo, 𝐻 = (13,−3) . A área desse triângulo pode ser calculada encontrando a base 𝐵𝐶 e a distância do vértice 𝐴 à reta BC. Como 𝐵(3,7) e 𝐶(3,1) possuem mesma abcissa, a base desse triângulo mede:

= 7 − 1 = 6

A altura de 𝐴 em relação a 𝐵𝐶 é a distância de 𝐴 até a reta vertical que passa por 𝐵𝐶 que é 𝑥 = 3. Portanto, a altura é:

Portanto, a área do triângulo é: