GABARITO: ALTERNATIVA C.

Vamos usar as informações do enunciado para encontrar alguma relação.

Primeiro, usando (𝐵ᶜ ∪ 𝐴)ᶜ = {𝑓, 𝑔, ℎ}:

Simplificando (𝐵ᶜ ∪ 𝐴)ᶜ usando as propriedades dos conjuntos:

(𝐵ᶜ ∪ 𝐴)ᶜ = (𝐵ᶜ)ᶜ ∩ 𝐴ᶜ = 𝐵 ∩ 𝐴ᶜ

⇒ (𝐵 ∩ 𝐴ᶜ) = {𝑓, 𝑔, ℎ}

Agora para 𝐵ᶜ ∩ 𝐴 = {𝑎, 𝑏}:

Sabemos pelas propriedades que 𝐵ᶜ ∩ 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵ᶜ

⇒ 𝐴 ∩ 𝐵ᶜ = {𝑎, 𝑏}

Por último, vamos analisar 𝐴ᶜ\𝐵 = {𝑑, 𝑒}. Vamos simplificar 𝐴ᶜ\𝐵 usando as propriedades dos conjuntos:

𝐴ᶜ\𝐵 = 𝐴ᶜ ∩ 𝐵ᶜ = (𝐴 ∪ 𝐵)ᶜ

⇒ (𝐴 ∪ 𝐵)ᶜ = {𝑑, 𝑒}

Vamos usar o Diagrama de Venn-Euler para ilustrar a situação:

Perceba que não sabemos quais os elementos de 𝐴 ∩ 𝐵. Porém, conhecemos os elementos do conjunto universo 𝑈 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ}. Usando as informações do diagrama, temos a seguinte relação:

𝑈 = (𝐴 ∩ 𝐵ᶜ) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴ᶜ) ∪ (𝐴 ∪ 𝐵)ᶜ

Agora, usando as informações que encontramos:

⇒ (𝐵 ∩ 𝐴ᶜ) = {𝑓, 𝑔, ℎ}

⇒ (𝐴 ∩ 𝐵ᶜ) = {𝑎, 𝑏}

⇒ (𝐴 ∪ 𝐵)ᶜ = {𝑑, 𝑒}

Substituindo na relação, obtemos:

{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} = {𝑎, 𝑏} ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑓, 𝑔, ℎ} ∪ {𝑑, 𝑒} = {𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)

Veja:

{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} = {𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)

O único elemento que falta em {𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} é 𝑐. Portanto (𝐴 ∩ 𝐵) = {𝑐}.

A questão pede o número de elementos do conjunto das partes de 𝐴 ∩ 𝐵. Sabemos que esse valor é dado por 𝑛(𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)) =

Portanto:

𝑛(𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)) = 2¹ = 2