a) 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = (𝑛(𝑛+1))/2

Para provar por PIF, devemos seguir duas etapas:

1) 𝑃(𝑛0) é válida. Para algum 𝑛0 ∈ ℕ.

2) Para 𝐾 ∈ ℕ, se 𝑃(𝐾) é válida, então 𝑃(𝐾 + 1) também é válida.

Vamos verificar a primeira etapa:

1) 𝑛 = 1 ⇒ 1 = 1 ∙(1+1)/2

= 1, logo a equação é válida para 𝑛 = 1.

2) Vamos supor válida para 𝑘 ∈ ℕ:

Hipótese: 𝑘 ∈ ℕ, 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 = (𝑘(𝑘+1))/2

Então, devemos provar que é válida também para 𝑘 + 1:

Tese: 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + 1 =

Para provar a teste, vamos usar a hipótese e somar 𝑘 + 1 nos dois lados da igualdade:

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 = (𝑘(𝑘 + 1))/2

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) = (𝑘(𝑘 + 1))/2 + (𝑘 + 1)

Vamos fatorar o lado direito da igualdade e ver se chegamos à tese:

Essa é a nossa tese.

Partindo da hipótese válida para 𝑘 ∈ ℕ, provamos que ela também é válida para 𝑘 + 1.

b) 1² + 2² + 3² + ⋯ + 𝑛² =

Vamos primeiro verificar a validade da propriedade.

1) 𝑛 = 1 ⇒ 1² = 1

Generalizando o resultado, vamos criar nossa hipótese e a tese.

2) Hipótese: Para 𝑘 ∈ ℕ, 1² + 2² + 3² + ⋯ + 𝑘² =

é válida.

Tese: Também é válida para 𝑘 + 1 ∈ ℕ ⇒ 1² + 2² + 3² + ⋯ + 𝑘² + (𝑘 + 1)² =

Da hipótese, temos:

1² + 2² + 3² + ⋯ + 𝑘² =

Somando (𝑘 + 1)² em ambos os lados da equação:

1² + 2² + 3² + ⋯ + 𝑘² + (𝑘 + 1)² =

Vamos simplificar

Essa é a nossa tese, logo está provada por indução que ela é válida ∀𝑛 ∈ ℕ.

Da hipótese, temos:

1³ + 2³ + ⋯ + 𝑘³ =

Somando (𝑘 + 1)³ nos dois lados da equação:

1³ + 2³ + ⋯ + 𝑘³ + (𝑘 + 1)³ =

+ (𝑘 + 1)³

Vamos simplificar

+ (𝑘 + 1)³:

Essa é a nossa tese, logo está provada por indução.

e) 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) ⋮ 6

1) 𝑛 = 0 ⇒ 0(0 + 1)(0 + 2) = 0 ⋮ 6, logo é válida para 𝑛 = 0.

2) Hipótese: 𝑘 ∈ ℕ ⇒ 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) ⋮ 6 é válida.

Tese: 𝑘 + 1 ∈ ℕ ⇒ (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3) ⋮ 6

(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)

Aplicando a distributiva no termo (𝑘 + 3):

𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) + 3(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

Pela hipótese, 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) é divisível por 6.

Resta provar que 3(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) é divisível por 6. Para isso, precisamos provar que ela é divisível por 2 e por 3. Já sabemos que ela é divisível por 3 devido à presença do fator 3 na expressão. Então, devemos provar que ela é divisível por 2.

Perceba que (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) é o produto de dois números consecutivos. Esse produto será resultado de um número par multiplicado por um número ímpar. Nos números pares sempre teremos a presença do fator 2. Logo, esse produto é divisível por 2.

3(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) ⋮ 6

∴ (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3) ⋮ 6 também é válida

Portanto está provada a propriedade por indução.

f) 𝑛² + 𝑛 ⋮ 2

Vamos fatorar 𝑛² + 𝑛.

𝑛² + 𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

1) 𝑛 = 0 ⇒ 0(0 + 1) = 0 ⋮ 2, a propriedade é válida para 𝑛 = 0.

2) Hipótese: 𝑘 ∈ ℕ, 𝑘(𝑘 + 1) ⋮ 2 é válida.

Tese: 𝑘 + 1 ∈ ℕ, (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) ⋮ 2 também é válida.

Vamos analisar (𝑘 + 1)(𝑘 + 2):

(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) = (𝑘 + 1)𝑘 + (𝑘 + 1)2

𝑘(𝑘 + 1) + 2(𝑘 + 1)

2(𝑘 + 1) é divisível por 2 já que possui 2 como fator.

𝑘(𝑘 + 1) é divisível por 2 pela hipótese.

Portanto (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) é divisível por 2. Está provada a propriedade por indução.

g) 2𝑛 ≥ 𝑛 + 1

1) 𝑛 = 1 ⇒ 2 ≥ 2. Logo, ela é válida para 𝑛 = 1.

2) Hipótese: 𝑘 ∈ ℕ, 2𝑘 ≥ 𝑘 + 1 é válida para 𝑘.

Tese: 2(𝑘 + 1) ≥ 𝑘 + 2 é válida para 𝑘 + 1.

Da hipótese, temos:

2𝑘 ≥ 𝑘 + 1

Pela propriedade da translação, podemos somar 1 nos dois lados da desigualdade:

2𝑘 + 1 ≥ 𝑘 + 1 + 1

2𝑘 + 1 ≥ 𝑘 + 2

Mas 2(𝑘 + 1) = 2𝑘 + 2 > 2𝑘 + 1

Pela propriedade da transitividade:

2(𝑘 + 1) > 2𝑘 + 1 𝑒 2𝑘 + 1 ≥ 𝑘 + 2 → 2(𝑘 + 1) ≥ 𝑘 + 2

∴Da hipótese chegamos à tese e está provada a indução.