Vamos determinar a posição da imagem formada por um espelho esférico (gaussiano) quando o objeto não se encontra sobre seu eixo principal, isto é, a linha normal ao espelho em seu centro.
Sendo p a distancia do objeto ao centro do espelho e 𝜃 o ângulo com relação ao eixo principal, e este suficientemente pequeno, para que as aproximações do espelho gaussiano continuem validas. Considerando os raios ilustrados na figura acima vemos que se uma imagem bem definida se formar, ela deve estar no plano da figura e seu ângulo com relação ao eixo principal deve ser o mesmo 𝜃 .
a) Sendo f a distancia focal do espelho, prove usando os dois raios ilustrados (um que passa pelo centro e outro paralelo ao eixo principal) que p’, a distancia da imagem até o centro do espelho, deve obedecer a relação:
b) Vamos considerar agora outros raios que saem do corpo, para verificar se a imagem será bem definida, isto é, se todos os raios convergem para ela. No entanto, limitemo-nos ao plano da figura acima, pois fica mais complicado mostrar isso para raios fora do plano. Há um raio que sai do corpo e atinge o espelho, a uma distancia 𝒍 acima de seu centro, e se encontra com o raio que passava pelo centro a uma distancia 𝑝 do centro do espelho, conforme a seguinte figura
Mostre que 𝑝 e 𝑝', isto é, todos os raios, independentemente de ݈𝒍, convergem para o mesmo ponto.
c) Quando há um corpo extenso sobre o eixo principal, tal como uma vela, costuma-se considerar que a imagem de um ponto superior forma-se justamente acima da imagem de um ponto na base, isto é, uma vela posta verticalmente com a base sobre o eixo principal forma uma imagem também vertical.
Prove, a partir da relação obtida no item a, que esta consideração é verdadeira, isto é, a posição horizontal (paralela ao eixo principal) da imagem pode ser tratada como se o objeto estivesse sobre o eixo. Conseqüentemente ter-se-ia que a imagem de uma vela vertical seria, de fato, vertical.
d) Se um feixe de raios paralelos incide no espelho paralelamente ao eixo principal, então o feixe converge para um ponto sobre o eixo, chamado foco. Caso o feixe forme um ângulo 𝜃 ,suficientemente pequeno, com o eixo, mostre que os raios convergem para um ponto contido no plano perpendicular ao eixo e que passa pelo foco e calcule a distancia entre este ponto F’ e o foco F. Este plano é chamado de plano focal. Dê o resultado em termos de 𝜃 e f.