GABARITO: ALTERNATIVA D.

Primeiramente vamos encontrar a intersecção entre as retas. Isolando 𝑥 na reta 𝑟, temos:

𝑥 = 3𝑦 − 3

Substituindo na reta 𝑠, vem:

3 ∙ (3𝑦 − 3) + 𝑦 − 21 = 0 ⇔ 10𝑦 − 30 = 0 ⇔ 𝑦 = 3

Sabendo o valor de 𝑦, encontramos o valor de x:

𝑥 = 3 ∙ 3 − 3 = 6

Assim, o ponto de intersecção das retas, que chamaremos de 𝐵, é dado por 𝐵 = (6,3).

Façamos, então, um diagrama da situação:

Disso, temos que o ponto 𝐴 é dado fazendo 𝑥 = 0 na equação de 𝑦, do que temos 0 − 3𝑦 + 3 = 0 ⇒ 𝑦 = 1. E temos que o ponto 𝐶 é obtido fazendo 𝑦 = 0 na equação de 𝑠, do que temos 3𝑥 − 21 = 0 ⇒ 𝑥 = 7.Logo, 𝐴 = (0,1) 𝑒 𝐶 = (7,0).

Queremos a área do quadrilátero 𝑂𝐴𝐵𝐶 (ver figura acima). Tudo fica mais fácil se percebemos que 𝑟 𝑒 𝑠 são perpendiculares, pois 𝑚ᵣ = 1/3

e 𝑚ₛ = −3, ou seja, 𝑚ₛ𝑚ᵣ = −1. Logo, o triângulo Δ𝐴𝐵𝐶 é retângulo e temos, desde o início, que o triângulo Δ𝑂𝐴𝐶 também é retângulo.

Para facilitar, vamos definir as regiões 𝐴₁ e 𝐴₂, como na figura abaixo.

Para calcular 𝐴₁, temos:

𝐴₁ = (𝑂𝐴 ∙ 𝑂𝐶)/2 = (1 ∙ 7)/2 = 7//2

Para calcular 𝐴₂, primeiro temos que calcular 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶. Da geometria analítica:

Como Δ𝐴𝐵𝐶 é retângulo, temos que:

𝐴₂ = (𝐴𝐵 ∙ 𝐵𝐶)/2 = √400 /2 = 10

Assim, a área pedida é 𝐴₁ + 𝐴₂ = 7/2 + 10 = 27/2.