a) Dadas as medidas AC (5) e CN (3), tem-se CM=3. No triângulo ACM:

5² = 3² + AM²

AM = 4

Então, no triângulo ANC:

(4 + MC)² = 8² + NC²

Porém, MC = NC.

Assim, tem-se:

(4 + MC)² = 64 + MC²

16 + 8MC + MC² = 64 + MC²

16 + 8MC = 64

16 + 8MC – 16 = 64 – 16

8MC = 48

MC = 6

Uma vez que AC = AM + MC,

AC = 4 + 6 = 10

Do enunciado, AB = AC. Então:

AB = 10

Como os segmentos BN e NC são iguais entre si, BN = NC = 6. Dessa forma

BC = BN + NC = 6 + 6 = 12

Então, o perímetro do triângulo ABC será igual a AB + BC + AC. Ou seja,

P = 10 + 12 + 10 = 32 cm

b)

Considerando-se o triângulo ANC, tem-se

que é o valor do seno do ângulo de 53,13° dado.

Então, o ângulo β será igual a 180°–(90° + 53,13°) = 36,87°.

Dessa forma, a área da região indicada em amarelo será igual à área do setor circular definido por ABC e do círculo com centro em C.

A área do setor circular é dada por:

onde γ é o ângulo do setor circular.

Ou seja

A área do círculo interno é

Assim, a área em destaque será

A melhor aproximação inteira é S= 36 cm².