GABARITO: ALTERNATIVA B.

A frase “o dobro do seno de um ângulo 𝜽 é igual ao triplo do quadrado de sua tangente” pode ser algebricamente representada por:

𝟐⋅𝐬𝐞𝒏 𝜽 = 𝟑⋅(𝒕𝒈𝜽)²

Sabendo que a tangente de um ângulo é a divisão do seno pelo cosseno do ângulo, então:

2⋅𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 3⋅(𝑠𝑒𝑛²𝜃 / 𝑐𝑜𝑠²𝜃)

Podemos dividir os dois membros por 𝑠𝑒𝑛 𝜃, da seguinte forma:

2 = 3⋅(𝑠𝑒𝑛 𝜃/𝑐𝑜𝑠² 𝜃)

Da relação fundamental da trigonometria, inferimos que 𝑐𝑜𝑠² 𝜃 = 1−sen² θ, então:

2 = 3⋅(𝑠𝑒𝑛 𝜃 / (1−sen² θ))

Multiplicando meios e extremos:

2 − 2𝑠𝑒𝑛² 𝜃 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃

2𝑠𝑒𝑛²𝜃 − 3𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2 = 0

Uma equação do segundo grau, cujas raízes serão:

𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1/2

~~𝑠𝑒𝑛𝜃=−2~~

Descartamos a segunda raiz, pois não existe seno com esse valor.

Substituindo 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1/2, na relação fundamental, encontraremos o valor do cosseno do ângulo 𝜃:

𝑠𝑒𝑛²𝜃 + 𝑐𝑜𝑠²𝜃 = 1

(1/2)² + 𝑐𝑜𝑠²𝜃 = 1

𝑐𝑜𝑠²𝜃 = 3/4

𝑐𝑜𝑠𝜃 = √3 / 2

Utilizamos só a raiz positivo, pois 0 < 𝜃 < 𝜋/2, ou seja 𝜃 pertence ao primeiro quadrante.