Determinando o lado da base da pirâmide

Ao planificarmos as faces ABE e BCE da pirâmide, obtemos o quadrilátero ABCE (veja a primeira figura), que é um losango. Em um losango, as diagonais são perpendiculares entre si e cortam-se exatamente ao meio.

Assim, o ponto F é o encontro das diagonais AC e BE, e o triângulo AFB é retângulo em F.

Já sabemos que o segmento AF mede √3 cm.

Além disso, o triângulo ABE é equilátero, logo todos os seus ângulos internos medem 60°. Em particular, o ângulo vale 60°.

No triângulo retângulo AFB, usando a definição de seno no ângulo temos:

Substituindo:

Cancelando √3 e resolvendo, obtemos:

AB = 2 cm.

Portanto, o lado do quadrado da base da pirâmide mede 2 cm.

Para o cálculo da altura da pirâmide, temos:

Na segunda figura, vemos a pirâmide regular de vértice E e base quadrada ABCD. Em uma pirâmide regular, a altura sempre passa pelo centro da base.

O centro do quadrado é o ponto de encontro das diagonais, que chamamos de H. Como as diagonais de um quadrado se cruzam no meio e são perpendiculares, os segmentos AH e BH têm o mesmo comprimento; vamos chamá-lo de x.

O lado do quadrado é AB = 2 cm, logo o triângulo AHB é retângulo isósceles, com catetos AH = BH = x e hipotenusa AB = 2. Aplicando o Teorema de Pitágoras em △ AHB, temos:

x² + x² = 2² ⇒ 2x² = 4 ⇒ x² = 2 ⇒ x = √2.

Portanto, AH = √2 cm, que é a distância do centro da base a um vértice.

Agora, observemos o triângulo retângulo AHE, em que:

• EH é a altura da pirâmide;

• AH = √2 cm é um cateto;

• AE = 2 cm é a aresta lateral (já conhecida pelo problema).

Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras em △ AHE :

EH² + AH² = AE²

EH² + (√2)² = 2²

EH² + 2 = 4

EH² = 2 ⇒ EH = √2 cm.

Assim, a altura da pirâmide é √2 cm.