GABARITO: ALTERNATIVA A.

Vamos utilizar a seguinte equação da hipérbole, conforme descrita no enunciado:

𝑥²/𝑎² − 𝑦²/𝑏² = 1

Temos que 𝑐/𝑎 = √2, ou seja, 𝑐 = 𝑎√2.

Além disso, temos também:

𝑐² = 𝑎² + 𝑏² = 2𝑎² ⇒ 𝑏² = 𝑎² ⇒ 𝑏 = 𝑎

Ou seja, nossa hipérbole tem a forma:

𝑥²/𝑎² − 𝑦²/𝑎² = 1

Sabemos que ela passa por (√5, 1), então:

5/𝑎² − 1/𝑎² = 1 ⇒ 𝑎 = 2

Assim, a hipérbole está determinada:

𝑥² − 𝑦² = 4

A reta que buscamos é paralela à reta 𝑦 = 2𝑥. Então, ela deve ser da forma:

𝑟: 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏

Substituindo na equação da hipérbole, temos:

𝑥² − (2𝑥 + 𝑏)² = 4 ⇔ −3𝑥² − 4𝑏𝑥 − 𝑏² − 4 = 0

Seu discriminante deve ser nulo, da condição de tangência, ou seja:

∆= 16𝑏² − 4 ∙ (−3)(−𝑏² − 4) = 0 ⇒ 𝑏² = 12 ⇒ 𝑏 = ±2√3

Logo, as possíveis retas são:

𝑟₁,₂: 𝑦 = 2𝑥 ± 2√3 ⇔ 𝑟₁,₂: √3𝑦 = 2√3𝑥 ± 6