Sejam 𝑎, 𝑎𝑞, 𝑎𝑞², os lados de um triângulo. Então, verificando a condição de existência do triângulo pela desigualdade triangular:

|𝑎𝑞 − 𝑎𝑞²| < 𝑎 < 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞²

Como 𝑎 é um lado de um triângulo, temos 𝑎 > 0. Dessa forma:

|𝑞 − 𝑞²| < 1 < 𝑞 + 𝑞²

Resolvendo (𝐼):

𝑞² + 𝑞 − 1 > 0

Encontrando as raízes:

𝑞 = (−1±√5)/2

Estudo do sinal:

𝑞 = (−1-√5)/2 ou 𝑞 = (−1+√5)/2

Como 𝑎𝑞 é um lado do triângulo e 𝑎 > 0, temos 𝑞 > 0. Então:

Resolvendo (𝐼𝐼):

−1 < 𝑞 − 𝑞² < 1

Para a inequação (𝐼𝐼𝐼), temos:

𝑞² − 𝑞 − 1 < 0

Raízes:

𝑞 = (1±√5)/2

Estudo do sinal:

(1-√5)/2 < 𝑞 < (1+√5)/2

Mas 𝑞 > 0, logo:

Para (𝐼𝑉):

𝑞² − 𝑞 + 1 > 0

Essa inequação não possui raízes reais, pois Δ < 0:

Δ = −3 < 0

Como essa função possui concavidade para cima, temos que ∀𝑞 ∈ ℝ → 𝑞² − 𝑞 + 1 > 0.

Então, as condições de 𝑞 são dadas pela intersecção dos resultados encontrados:

(-1+√5)/2 < 𝑞 < (1+√5)/2