GABARITO: ALTERNATIVA D.

Para calcular a área do retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, precisamos de sua base e altura.

A base desse retângulo é o segmento 𝐴𝐵 e a altura pode ser o segmento 𝐴𝐷, pois 𝐴𝐵 é perpendicular a AD.

• Para calcularmos a base, precisamos substituir as coordenadas de A e B na reta suporte 5𝑦 + 2𝑥 = 10.

𝐴(0; 𝑦) → 5𝑦 +2𝑥 = 10

5𝑦 +2 ∙ 0 = 10

5𝑦 = 10

𝑦 = 2

Logo 𝐴(0; 2).

𝐵(𝑥; 0) → 5𝑦 + 2𝑥 = 10

5 ∙ 0 + 2𝑥 = 10

2𝑥 = 10

𝑥 = 5

Logo 𝐴(5; 0).

Assim, o segmento 𝐴𝐵 será dado pela distância entre A e B:

• Para calcularmos a altura, precisamos da reta suporte ao segmento 𝐴𝐷.

Como essa reta é perpendicular à reta dada, seu coeficiente angular será:

5𝑦 + 2𝑥 = 10

5𝑦 = −2𝑥 +10

𝑦 = − 2𝑥/5 + 2

𝑚🇦🇩 = 5/2

Encontrando a equação da reta (substituindo o ponto 𝐴(0,2) e o coeficiente angular), temos:

𝑦 − 𝑦₀ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₀)

𝑦 −2 = 5/2(𝑥 − 0)

𝑦 = 5/2 𝑥 + 2

Assim, podemos encontrar o ponto D:

𝐷(𝑥; 0) → 𝑦 = 5/2 𝑥 + 2

0 = 5/2 ∙ 𝑥 + 2

−2 = 5/2 ∙ 𝑥

𝑥 = − 4/5

Portanto, 𝐷(− 4/5; 0)

Assim, a altura será a distância entre A e D:

• Por fim, vamos ao cálculo da área do retângulo: