GABARITO: ALTERNATIVA A

A questão envolve propriedades de um triângulo retângulo e a Lei dos Cossenos.

Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa (o segmento que liga o vértice do ângulo reto ao ponto médio da hipotenusa) tem comprimento igual à metade do comprimento da hipotenusa.

o No problema, CM é a mediana relativa à hipotenusa AB. M é o ponto médio de AB.

o Portanto, 𝐶𝑀 = 𝐴𝑀 = 𝐵𝑀.

o É dado que 𝐶𝑀 = 5. Logo, 𝐴𝑀 = 5 e 𝐵𝑀 = 5.

Agora, focamos no triângulo AMC. Conhecemos os comprimentos de seus três lados:

o 𝐴𝐶 = 6 (dado na figura)

o 𝐴𝑀 = 5 (pela propriedade da mediana)

o 𝐶𝑀 = 5 (dado na figura)

Podemos usar a Lei dos Cossenos no triângulo AMC para encontrar o cosseno do ângulo 𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 = 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝐶𝑀𝐴.

A lei afirma que 𝑐² = 𝑎² + 𝑏² − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝐶).

Aplicando ao nosso triângulo para encontrar 𝑐𝑜𝑠( 𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎):

𝐴𝐶² = 𝐴𝑀² + 𝐶𝑀² − 2(𝐴𝑀)(𝐶𝑀)cos (𝛼)

6² = 5² + 5² − 2(5)(5)cos (𝛼)

36 = 25 + 25 − 50cos (𝛼)

36 = 50 − 50cos (𝛼)

50cos (𝛼) = 50 − 36

50cos (𝛼) = 14 ⟹ cos (𝛼) =

Usamos a identidade trigonométrica fundamental 𝑠𝑒𝑛² ( α) + 𝑐𝑜𝑠² ( α) = 1.

Como α é um ângulo interno de um triângulo, 𝑠𝑒𝑛(α) é positivo.