GABARITO: ALTERNATIVA A.

Vamos analisar a condição de existência da equação:

𝑠𝑒𝑐𝜃 = 1/𝑐𝑜𝑠𝜃 ⇒ 𝜃 ≠ 𝜋/2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃 = 1/𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝜃 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Nessa questão, devemos analisar os dois casos possíveis:

(1 + 𝑠𝑒𝑐𝜃)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃) = 0

1 + 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 0 (𝐼)

Ou

1 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃 = 0 (𝐼𝐼)

(𝐼):

1 + 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 0 ⇒ 1/𝑐𝑜𝑠𝜃 = −1

𝑐𝑜𝑠𝜃 = −1

𝜃 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Como 𝜃 ∈ [−𝜋, 𝜋], temos:

⇒ 𝜃 = −𝜋 ou 𝜃 = 𝜋

(𝐼𝐼):

1 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃 = 0 ⇒ 1/𝑠𝑒𝑛𝜃 = −1

𝑠𝑒𝑛𝜃 = −1

𝜃 = 3𝜋/2 + 2𝑘𝜋

⇒ 𝜃 = − 𝜋/2

Fazendo a intersecção da solução com a condição de existência do problema, temos:

𝜃 = ±𝜋 não convém, pois 𝜃 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

𝜃 = − 𝜋/2 não convém, pois 𝜃 ≠ 𝜋/2 + 𝑘𝜋

Portanto, a solução é o conjunto vazio:

𝑆 = ∅