GABARITO: ALTERNATIVA B

Temos quatro pontos:

• L(3,5)

• K(1,2)

• M(5,3)

• N(p, q)

Esses pontos formam um paralelogramo, e a diagonal KN é informada como o diâmetro de uma circunferência, cuja equação geral é:

x² + y² + a x + b y + c = 0.

Curiosidade rápida: no paralelogramo, as diagonais se cruzam em seus pontos médios. Ou seja, o ponto de interseção das diagonais é o centro do paralelogramo – e, neste caso, será também o centro da circunferência!

A diagonal KN é diâmetro da circunferência.

Sabemos que em qualquer círculo, o centro está no ponto médio do diâmetro.

No enunciado (e pelo desenho), vemos que o centro foi identificado como C(4, 4).

Afinal, se L(3,5) e K(5,3) são pontos opostos de um diâmetro, o ponto médio deles será justamente

Se o centro é C(4,4) e K(1,2) faz parte do diâmetro, a distância do centro até K é metade do diâmetro, ou seja, o raio R.

A equação reduzida de uma circunferência de centro (a, b) e raio R é:

(x − h)² + (y − k)² = R².

No nosso caso, a = 4, b = 4 e R² = 13. Então:

(x − 4)² + (y − 4)² = 13.

Para comparar com a forma geral precisamos expandir a equação reduzida:

(x − 4)² + (y − 4)² = 13

⟹ (x² − 8x + 16) + (y² − 8y + 16) = 13

⟹ x² + y² − 8x − 8y + 32 = 13

⟹ x² + y² − 8x − 8y + 19 = 0.

Agora, comparando termo a termo com x

2 + y² + a x + b y + c = 0, obtemos: a = −8, b = −8 e c = 19.

Para encerrar, basta somar a + b + c:

(−8) + (−8) + 19 = −16 + 19 = 3.