GABARITO: ALTERNATIVA E

Para resolver a questão envolvendo o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥³ + 𝑚𝑥 − 2 e determinar a soma dos valores de 𝑚 com 𝑎 e 𝑏 (onde 𝑎 é uma raiz real dupla e 𝑏 uma raiz real simples do polinômio), utilizaremos a relação entre as raízes e coeficientes, assim como propriedades das raízes de um polinômio.

Sabendo que:

• 𝑝(𝑥) = 1𝑥³ + 𝑚𝑥 − 2

• 𝑥₁ = 𝑎, 𝑥₂ = 𝑎 e 𝑥₃ = 𝑏

Das relações de Girard para polinômios de grau 3, temos:

1. Soma das raízes

Neste caso, o coeficiente de 𝑥² é 0 (não aparece no polinômio), então 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 = 0

2. Produto das raízes tomadas duas a duas:

Logo, 𝑎𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 = 𝑚, ou seja, 𝑎² + 2𝑎𝑏 = 𝑚.

3. Produto das raízes:

Assim, 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 = −(−2) = 2.

Vamos resolver as equações com 𝑎 e 𝑏 equações:

1. 2𝑎 + 𝑏 = 0

2. 𝑎²𝑏 = 2

De 1, temos:

𝑏 = −2𝑎.

Substituindo em 2:

𝑎²(−2𝑎) = 2

−2𝑎³ = 2

𝑎³ = −1

𝑎 = −1

Substituindo 𝑎 = −1 em 𝑏 = −2𝑎:

𝑏 = −2(−1)

𝑏 = 2

Agora, precisamos encontrar 𝑚 usando a equação 𝑎² + 2𝑎𝑏 = 𝑚:

(−1)² + 2(−1)(2) = 𝑚

1 − 4 = 𝑚

𝑚 = −3

Portanto, a soma de 𝒎 com 𝒂 é:

𝑚 + 𝑎 = −3 − 1 = −4