GABARITO: ALTERNATIVA D.

Se você parar para observar, o polinômio apresentado pode ser encarado como uma soma de P.G. de primeiro termo 1 e razão 𝑧. Seja então a equação abaixo:

1 + 𝑧 + 𝑧² + 𝑧³ + 𝑧⁴ + 𝑧⁵ + 𝑧⁶ + 𝑧⁷ = 0

Vamos ver se 𝑧 = 1 é raiz dessa equação:

1 + 1 + 1² + 1³ + 1⁴ + 1⁵ + 1⁶ + 1⁷ = 6 ≠ 0

Dado que 𝑧 = 1 não é raiz da equação, podemos escrever a equação dada como sendo:

1 + 𝑧 + 𝑧² + 𝑧³ + 𝑧⁴ + 𝑧⁵ + 𝑧⁶ + 𝑧⁷ = (𝑧⁸ − 1)/(𝑧 − 1) = 0

Da soma de P.G.

Ou seja:

𝑧⁸ − 1 = 0

Do estudo dos números complexos, conhecemos bem essa equação: são as raízes oitavas da unidade. De maneira mais geral, sabe-se que as raízes da equação:

𝑧ⁿ − 1 = 0

Formam um polígono regular de 𝑛 lados.

Então, vamos desenhar as raízes da equação 𝑧⁸ − 1 = 0 no plano complexo:

Mas devemos lembrar que 𝑧 = 1 não é raiz dessa equação, do que segue que o polígono convexo formado pelas raízes do polinômio é dado pela figura abaixo:

O polígono regular é formado por 8 triângulos com o ângulo mais interno dado por:

2𝜋/8 = 𝜋/4

A área de cada triângulo é dada por:

Mas lembre-se de que:

𝑧⁸ − 1 = 0 ⇒ |𝑧|⁸ = 1 ⇒ |𝑧| = 1, 𝑝𝑜𝑖𝑠 |𝑧| ∈ ℝ

Ou seja:

Na figura acima, temos 6 triângulos, ou seja:

O triângulo restante é retângulo de área:

𝐴 = 1 ∙ 1 ∙ 1/2 = 1/2

Do que segue que a área total é: