GABARITO: 𝟐𝟎𝟒𝟖 ⋅ 𝒂₀ = 𝟖

1º) Temos o seguinte polinômio:

𝑃(𝑥) = 𝑥⁸ − 4𝑥⁷ + 7𝑥⁶ + 𝑎₅𝑥⁵ + 𝑎₄𝑥⁴ + 𝑎₃𝑥³ + 𝑎₂𝑥² + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀

Note que, pelas relações de Girard, temos

𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃ + ⋯ + 𝑥₈ = 4

𝑥₁𝑥₂ + 𝑥₁𝑥₃ + 𝑥₁𝑥₄+ ⋯ + 𝑥₇𝑥₈ = 7

𝑥₁𝑥₂𝑥₃ … 𝑥₈ = 𝑎₀

Além disso, sabe-se que:

(𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃ + ⋯ + 𝑥₈)² = 𝑥₁² + 𝑥₂² + ⋯ + 𝑥₈² + 2(𝑥₁𝑥₂ + 𝑥₁𝑥₃ + ⋯ + 𝑥₇𝑥₈)

Substituindo os valores:

4² = 𝑥₁² + 𝑥₂² + ⋯ + 𝑥² + 2 ⋅ 7

⇒ 16 − 14 = 𝑥₁² + 𝑥₂² + ⋯ + 𝑥₈²

Portanto,

𝑥₁² + 𝑥₂² + ⋯ + 𝑥₈² = 2

2º) Pela desigualdade das médias 𝑀𝐴 ≤ 𝑀𝑄 aplicada às 8 raízes do polinômio, temos que:

Nota-se que 𝑀𝐴 = 𝑀𝑄 para as raízes de tal polinômio, essa igualdade ocorre somente se as raízes forem iguais, logo,

Por fim,