Pelo enunciado, temos a seguinte figura:

a) Queremos calcular o valor de 𝐶𝑀.

Analisando a figura, podemos ver que 𝐶𝐻 é mediatriz do triângulo 𝐴𝐷𝐶, pois esse segmento é altura e bissetriz do triângulo. Desse modo, 𝐴𝐻 = 𝐻𝐷 = 𝑎. Como 𝑀 é o ponto médio do segmento 𝐴𝐵, temos 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵. Então, se 𝐷𝑀 = 𝑏, temos 𝑀𝐵 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 = 2𝑎 + 𝑏.

Vamos aplicar o teorema da bissetriz interna nos triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐵𝐶𝐷:

Igualando (𝐼) e (𝐼𝐼):

Podemos tentar encontrar o valor de 𝛼. Analisando os triângulos 𝐴𝐻𝐶 e 𝑀𝐻𝐶:

Δ𝐴𝐻𝐶 ⇒ 𝑡𝑔𝛼 = 𝑎/𝐶𝐻 (𝐼𝐼𝐼)

Δ𝑀𝐻𝐶 ⇒ 𝑡𝑔(2𝛼) = (𝑎 + 𝑏)/𝐶𝐻 (𝐼𝑉)

Dividindo (𝐼𝑉) por (𝐼𝐼𝐼):

Esse valor de tangente é conhecido como 45°/2, então:

𝛼 = 45°/2 = 22,5°

Assim, podemos ver que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo em 𝐶. Como 𝑀 é o ponto médio do segmento 𝐴𝐵 e Δ𝐴𝐵𝐶 é retângulo, temos que Δ𝐴𝐵𝐶 pode ser inscrito em uma circunferência e 𝑀 é o seu centro. Logo, 𝐶𝑀 = 𝐴𝑀 = 𝐵𝑀 = 𝑙/2.

𝐶𝑀 = 𝑙/2

b) Analisando os ângulos internos do triângulo, obtemos:

Δ𝐴𝐻𝐶 ⇒ 𝛽 + 22,5° + 90° = 180° ⇒ 𝛽 = 67,5°

Δ𝐴𝐵𝐶 ⇒ 𝛽 + 90° + 𝜃 = 180° ⇒ 𝜃 = 22,5°

∴ 𝐶Â𝐵 = 67,5°, 𝐵𝐶̂𝐴 = 90°, 𝐴𝐵̂𝐶 = 22,5°