GABARITO: ALTERNATIVA D.

Vamos calcular o valor da expressão:

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛70°𝑐𝑜𝑠50° + 𝑠𝑒𝑛260°𝑐𝑜𝑠280°

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛70°𝑐𝑜𝑠50° + 𝑠𝑒𝑛(180° + 80°)cos (180° + 100°)

*𝑠𝑒𝑛(180° + 80°) = 𝑠𝑒𝑛(180°) cos(80°) + 𝑠𝑒𝑛(80°) cos(180°) = −𝑠𝑒𝑛(80°)

∗ cos(180° + 100°) = 𝑐𝑜𝑠(180°) cos(100°) − 𝑠𝑒𝑛(180°) sen(100°) = −𝑐𝑜𝑠(100°)

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛70°𝑐𝑜𝑠50° + (−𝑠𝑒𝑛(80°))(−𝑐𝑜𝑠(100°))

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛70°𝑐𝑜𝑠50° + 𝑠𝑒𝑛80°𝑐𝑜𝑠100°

Vamos transformar o produto em soma usando a fórmula de Prostaférese:

𝑠𝑒𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 = 1/2 (𝑠𝑒𝑛(𝐴 + 𝐵) + 𝑠𝑒𝑛(𝐴 − 𝐵))

𝑠𝑒𝑛70°𝑐𝑜𝑠50° = 1/2 (𝑠𝑒𝑛(120°) + 𝑠𝑒𝑛(20°))

𝑠𝑒𝑛80°𝑐𝑜𝑠100° = 1/2(𝑠𝑒𝑛(180°) + 𝑠𝑒𝑛(−20°)) = 1/2 (𝑠𝑒𝑛(180°) − 𝑠𝑒𝑛(20°))

⇒ 𝑦 = 1/2(𝑠𝑒𝑛(120°) + 𝑠𝑒𝑛(20°)) + 1/2(𝑠𝑒𝑛(180°) − 𝑠𝑒𝑛(20°))

⇒ 𝑦 = 1/2(√3/2) = √3/4