Os Axiomas de Peano são um conjunto de preposições envolvendo números naturais que são utilizados como base de diversas áreas da teoria dos números. O Estratégia Vestibulares fala tudo sobre eles para você!
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Axiomas de Peano
São eles:
- O 0 é um número natural;
- A igualdade é reflexiva: a=a para todo natural a;
- A igualdade é simétrica: se a=b, então b=a, para quais quer a e b naturais;
- A igualdade é associativa: se a=b e b=c, então a=c, para quaisquer a, b e c naturais;
- Os naturais são fechados na igualdade. Se a=b e a é natural, então b é natural;
- Para todo n ∈ N, o sucessor de n, denotado por S(n), também é natural;
- Não existe n ∈ N tal que S(n) = 0;
- S(n) pode ser entendido como uma função, e temos que, se S(n)=S(m), então m=n, ou seja, S(n) é uma função injetora;
- Se C é um conjunto, tal que:
0 ∈ C;
Para todo n ∈ N, se n ∈ C, então S(n) ∈ C;
Esse conjunto contém todos os números naturais.
Na lógica matemática, um axioma é uma afirmação que é considerada óbvia o bastante para que não seja necessária uma prova.
Normalmente, axiomas – também chamados de postulados – são enunciados no começo do desenvolvimento de uma teoria, e todos os demais teoremas dessa teoria são demonstrados a partir desses axiomas.
Os axiomas de Peano servem como base para boa parte da lógica aritmética, principalmente em áreas voltadas à teoria dos números.
Origem
Os axiomas de Peano foram apresentados por Giuseppe Peano, um matemático italiano que escreveu mais de 200 livros e artigos e foi um dos responsáveis pela fundação da teoria dos conjuntos e da lógica matemática.
Seus axiomas foram apresentados devido a uma crescente demandada dos matemáticos da época por mais formalismo na aritmética.
Axiomas de Peano – curiosidades
O nono axioma pode ser escrito na seguinte forma:
Se p é uma proposição para os números naturais tal que:
- p(0) de verdade;
- para todo número natural n, se p(n) é verdade, p(S(n)) também é verdade;
Então, essa proposição é verdadeira para todos os números naturais.
Esse axioma, ao ser escrito dessa forma, origina o princípio da indução infinita.
