Matematicamente, é possível compreender o mundo a partir de um plano tridimensional, isso porque os a maioria dos objetos possuem altura, largura e comprimento. Para entender melhor essas grandezas, existe a geometria espacial, que se aplica na nomenclatura e formalização dos sólidos geométricos.
Para te ajudar a compreender esse assunto e ampliar o conhecimento das fórmulas de volume, área superficial, planos de corte, entre outros tópicos, o Estratégia Vestibulares preparou um artigo com as principais figuras espaciais que aparecem nas provas. Acompanhe aqui!
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O que é geometria espacial?
A geometria espacial está relacionada com o estudo das figuras no espaço. Ou seja, é por meio dessa ciência que podemos entender o posicionamento, volume, área ocupada, construções de objetos, entre outras utilidades.
Ela é uma subcategoria da matemática, ou seja, a geometria é um ramo matemático voltado para o entendimento das figuras geométricas. Dentro dela podem ser encontradas:
- A geometria plana, que compreende os elementos bidimensionais, como triângulos, círculos, retângulos, planificações e etc.;
- A geometria analítica, que se debruça na relação entre a álgebra e os desenhos geométricos no plano cartesiano; e
- A geometria espacial, que relaciona a figura com o espaço tridimensional — aqui se encaixam os sólidos geométricos e suas relações.
Sólidos geométricos
Na geometria espacial, as figuras apresentam tridimensionalidade e são úteis para o cotidiano. Por exemplo:
- O cubo é a o sólido geométrico base para a construção de um dado;
- As caixas de sapato, em sua maioria, possuem a forma de um paralelepípedo;
- As bolas esportivas são esferas;
- As tubulações de água e esgoto, geralmente, possuem canos cilíndricos;
- As casquinhas de sorvete têm o formato de um cone; e
- O museu do Louvre, em Paris, apresenta a forma de uma pirâmide, entre outros exemplos.
Na composição dos sólidos geométricos, é importante compreender alguns conceitos específicos.
Por exemplo, arestas são os segmentos de reta que delimitam as faces. As faces são as superfícies que compõem os sólidos. Os vértices, por sua vez, são os pontos de encontros comuns entre as arestas. Entenda melhor com a imagem abaixo.
Para determinar esses valores, é possível utilizar a seguinte fórmula: V + F = A + 2, que pode ser decorada por meio do macete: Vem ser Feliz A dois.
Classificações da geometria espacial
Para entender a geometria espacial, é possível classificar as figuras tridimensionais em dois tipos principais: os sólidos poliédricos e os sólidos não poliédricos. Essa divisão leva em consideração a presença ou ausência de faces curvas.
Quando o sólido apresenta exclusivamente faces planas, eles são denominados poliedros, como as pirâmides, os tetraedros, os cubos, os paralelepídepos, os octaedros, entre outros.
Por outro lado, se o sólido apresenta ao menos uma face curva, será contado com o grupo das figuras tridimensionais não poliédricas. Nessa classificação estão os cones, as esferas, os cilindros, além de outros exemplos.
Grandezas notáveis da geometria espacial
Além de entender a constituição das figuras, a geometria espacial se dedica a compreensão de grandezas envolvidas em cada sólido. No cotidiano, esse estudo aparece quando, por exemplo, precisa-se pintar um cubo e necessita-se da área de superfícies totais para o cálculo do gasto das tintas.
Além disso, pode se relacionar com a física e entender quanto de água pode transbordar de um copo ao receber um cubo de gelo. Ou seja, a geometria espacial permite uma maior compreensão do espaço ocupado pelos corpos no espaço e no plano tridimensional.
Áreas de superfície
As superfícies dos sólidos geométricos possuem áreas quantificáveis, que surgem a partir de cálculos da geometria plana. Esses valores são obtidos em unidades de medida elevadas a segunda potência, como mm2, cm2, m2, km2 e semelhantes.
Em cada exercício e situação, a cobrança desses tópicos pode ser diferente. Veja, abaixo:
- Área de superfície de uma face: a partir de uma determinada face, calcula-se qual a área que sua superfície ocupa. Em um cubo, representa a área de uma face quadrada que o compõem; e
- Área total de superfície no sólido: é a soma das áreas superficiais de todas as faces que constituem o sólido. No cubo, é a soma das áreas de todos os quadrados que compõem sua superfície.
Volume do sólido
Na geometria espacial, os sólidos possuem tridimensionalidade e, por isso, apresentam volume quantificável. Em termos gerais, o volume diz respeito ao espaço que o corpo ocupa no espaço.
Por exemplo, quando se diz que uma caixa d’água é capaz de armazenar 1000 litros, espera-se que o volume dessa caixa cheia seja de mil litros. É importante ressaltar, neste ponto, que essa grandeza é obtida em unidades de medida elevadas à terceira potência. Como mm3, cm3, m3, km3 e parecidos.
Além disso, existe uma correspondência entre essas unidades volumétricas e as unidades de litros, como na tabela a seguir:
| UNIDADE MÉTRICA | CORRESPONDÊNCIA EM LITROS |
| 1 m3 | 1000 L = 103 L |
| 1 cm3 | 0,001 L = 10-3 L = 1 mL |
| 1 mm3 | 0,000001 L = 10-6 L |
Geometria espacial: principais figuras
Conheça nos tópicos seguintes as principais informações e fórmulas para os principais sólidos da geometria espacial com a área de cada face (Aface), a área de toda a superfície (Asuperficial total) e o volume (V).
Cubo
Composto por 6 faces quadradas de tamanhos e lados iguais (l).
Aface=l 2
Asuperficial total= 6 . l 2
V = l 3
Paralelepípedo
É um sólido geométrico com 6 faces (retângulos e/ou quadrados), com pelo menos duas faces retangulares.
Aface 1=a.b
Aface 2=a.c
Aface 3=b.c
Asuperficial total= 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c
V = a.b.c
Pirâmide
É um sólido geométrico que apresenta uma base plana (triangular, quadrangular, retangular, hexagonal, entre outros) e faces que se unem em um único vértice, como na figura acima.
Aface triangular= altura do triângulo. base do triângulo /2
Abase= área a figura geométrica que compõe a base
Asuperficial total= número de faces triangulares . Aface triangular + Abase
V = h . Abase / 3
Esfera
Cotidianamente, as esferas são chamadas de bolas. As fórmulas que permitem calcular sua área a volume são:
Asuperficial total= 4 . π . R2
V = 4/3 . π . R3
Cilindro
É um sólido não poliédrico que apresenta duas bases circulares interpostas por uma única face curva. Suas fórmulas são:
Aface curva = 2.π.r.h
Abase = π.r2
Asuperficial total = 2.π.r.h + 2.π.r2
V= π.r2.h
Questão de geometria espacial
Agora que você já conhece os principais sólidos geométricos e as fórmulas relacionadas a eles, acompanhe a resolução da questão sobre geometria espacial:
UNCISAL 2015
Um tanque cilíndrico de 8 m de diâmetro e 1,40 m de altura foi substituído por outro, também cilíndrico, de 5 m de diâmetro e 1,60 m de altura. Nessas condições, a variação de volume devido à troca dos tanques foi de, aproximadamente,
a) 29%.
b) 37%.
c) 45%.
d) 55%.
e) 63%.
O tanque cilíndrico inicial possuía:
diâmetroinicial= 8m
Como a fórmula do diâmetro é diâmetro = 2. raios
2.raioinicial = diâmetroinicial
2.raioinicial = 8
raioinicial=4m
Considerando que o volume se calcula pela fórmula V= π.r2.h
V= π.rinicial2.h, em que h=1,4m e π=3
Assim: V=3.42.1,4
V=64.1,4
Vinicial = 67,2 m3
Com a mudança de reservatório, a partir da mesma sequência lógica, teremos:
raiofinal=2,5m
h= 1,6 m
Vfinal= 3.2,52.1,6
Vfinal=30m3
Como o enunciado pede uma comparação entre os volumes finais e iniciais, utiliza-se a regra de três para entender a variação volumétrica:
Vinicial = 67,2 m3 ——- 100%
Vfinal=30 m3 ——– x%
30.100= 67,2.x
3000/ 67,2=x
x=44,64%
Como o tanque final tem 44,64% do volume presente no reservatório inicial, imagina-se que a capacidade de armazenamento do tanque diminui em 55,36%.
Assim, a alternativa que mais se aproxima do resultado obtido é a letra D.
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