Polinômios: o que são e como resolver

Quando equações possuem incógnitas e números conhecidos são chamadas de polinômios. As expressões polinomiais além de fornecerem resultados, podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e divididas, como você aprenderá no artigo a seguir. Acompanhe agora!

Qual a definição de polinômios?

Os polinômios são formados por termos: porções de expressões algébricas em que a única operação existente é a multiplicação. Por exemplo, 4.x é um termo, assim como 5.x.y.

Monômios

Quando a equação é formada por apenas um termo, é denominada de monômio, por exemplo:

• 10.x
• 23.x.y.z
• a.b

Como padrão, foi determinado que o número conhecido do termo é o coeficiente. As incógnitas, geralmente representadas por letras, serão chamadas de parte literal da equação. 

Binômios

As operações matemáticas entre termos são a soma e subtração entre eles, no caso em que existem dois termos, encontram-se os binômios:

• 13x + 25y → coeficientes +13 e +25;
• 8x – 14w → coeficientes +8 e -14; e
• – x + 9z → coeficientes -1 e +9.

em que a parte literal são os valores desconhecidos w, x, y, e z. 

Trinômios

Quando a expressão apresenta três termos, será chamada de trinômio. Como você pode ver a seguir:

• 10.x + 23.x.y².z + x².y
• – 13a.b³ – 11a² + 4.b

Com os exemplos acima, podemos introduzir o conceito de grau. Essa grandeza será definida pela soma dos expoentes da parte literal em cada termo. O maior resultado será o grau do polinômio, compreenda melhor no tópico abaixo.

Polinômios

Os polinômios, por fim, são expressões algébricas em que se encontram quatro ou mais termos. Veja a descrição de um polinômio com o esquema abaixo:

P = -3.a.b + 21.b².a³ + 7.b – 9.a⁴.b²

• Para o termo de coeficiente -3, temos uma parte literal com duas incógnitas. “a” tem expoente 1, assim como b: 1+1=2;
• No caso do coeficiente 21, a parte literal possui expoentes 2 e 3: 2+3=5;
• No termo que tem +7 como coeficiente, a única incógnita é o “b”, de expoente 1; e
• No último termo, que leva -9 como coeficiente, os expoentes da parte literal, quando somados, serão 4+2=6.

Com essas informações, observa-se que a maior soma entre os expoentes da parte literal de cada termo é equivalente a 6. Então, o polinômio P é do sexto grau, ou grau seis. 

Os polinômios podem admitir um resultado preciso, quando se determina um valor número para as incógnitas. Por exemplo, no caso de P, se a=1 e b=2, teremos que:

P = -3.1.2 + 21.2².1³ + 7.2 – 9.1⁴.2²
P = -3.2 + 21.4.1 + 14 – 9.1.4
P = -6 + 84 + 14 – 36
P = 108 – 42
P = 66

Perceba que, para valores diferentes de a e b, o resultado da expressão P será alterado.

Operações simples com polinômios

Pensando na interação entre as diferentes incógnitas e expressões polinomiais, é possível realizar operações matemáticas entre dois ou mais polinômios. 

Soma de polinômios

A principal regra da soma de polinômios é a realização da operação somente para termos que possuem a parte literal igual. Para isso, o ideal é agrupar esses termos semelhantes na escrita da expressão, facilitando a compreensão e os cálculos:

P = -5x + 8x²y + 15x² 

Q = 7y²x – 12yx² + x – 5x² – 9.y².x

P + Q = S 

S = ?

1. O primeiro passo será agrupar termos de parte literal igual:

S = -5x + x + 15x² – 5x² + 8x²y – 12yx² + 7y²x   – 9.y².x

Veja como a inversão dos fatores em -12yx² e +8x²y não altera o fato de as partes literais serem iguais, já que na multiplicação “a ordem dos fatores não altera o produto”, ou seja yx² = x²y.

2. Com essa organização feita, pode ser feita a operação simples entre os coeficientes dos termos semelhantes:
   S = -4x + 10x²  – 4x²y – 2.y².x

Observe que não há mais como agrupar os termos dos polinômios P e Q, de forma que essa é a forma mais simplificada da operação.

Subtração de polinômios

No caso da subtração, antes de iniciarmos com o agrupamento dos termos, é necessário aplicar a propriedade distributiva da Matemática — o ponto principal é inverter o sinal dos coeficientes do subtraendo. Com as mesmas expressões polinomiais P e Q:

P = -5x + 8x²y + 15x² 
Q = 7y²x – 12yx² + x – 5x² – 9.y².x
P – Q = M
M = ?

1. Inicialmente, descrevem-se as operações e inverte-se o sinal dos coeficientes no subtraendo (polinômio Q):
   M = -5x + 8x²y + 15x² – ( + 7y²x – 12yx² + x – 5x² – 9.y².x)
   M = -5x + 8x²y + 15x² – 7y²x + 12yx² – x + 5x² + 9.y².x
2. Agora, podemos agrupar os termos semelhantes, igual o raciocínio desenvolvido no exemplo anterior:
   M = -5x – x + 15x² + 5x² + 8x²y + 12yx² – 7y²x   + 9.y².x
3. Feita a organização lógica e matemática da expressão, pode-se dar continuidade e encontrar M:

M = -6x + 20x² + 20x²y + 2.y².x

Divisão de polinômios

A divisão de polinômios pode ser feita pelo método da chave, como quando fracionamos números inteiros. O polinômio P(x) será divido pela expressão D(x), resultando em um quociente Q(x).

Por exemplo, se tivermos um polinômio P(x) = 2x³ – 7x² + 4x + 1 e um divisor D(x) = x – 1, será necessário encontrar o Q(x):

Como descreve a imagem abaixo, o primeiro termo a ser eliminado será 2x³, que possui o maior grau na expressão. Para isso, pensa-se em um valor que, quando multiplicado por D(x) resulte em 2x³ — no caso, será 2x², o primeiro termo de Q(x).

Prossegue-se a divisão, subtraindo o valor encontrado na multiplicação entre 2x² e D(x) do polinômio P (x). 

Você pode acompanhar nas imagens que o fracionamento prossegue com o mesmo raciocínio.

Por fim, na figura abaixo está representado o final da divisão, que apresenta resto R(x)=0 e:

Q(x) = 2x² – 5x- 1

Em uma divisão polinomial genérica, pode-se dizer que:

P(x) = Q(x).D(x) + R(x)

Multiplicação de polinômios

A multiplicação polinomial segue o mesmo princípio que a multiplicação de números inteiros. Com a distributiva, encontra-se o valor de qualquer P(x).P’(x), levando sempre em consideração o jogo de sinais.

Com os mesmos Q(x) e D(x) do exemplo anterior, seguiremos essa representação:

P(x) = Q(x).D(x) 
P(x) = (2x² – 5x- 1) . (x-1)
P(x) = 2x³ – 2x² – 5x²  + 5x – x + 1
P(x) = 2x³ – 7x² + 4x + 1

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