Entre os diversos temas de geometria plana que aparecem em provas de vestibulares e no Enem, um dos mais intrigantes é o chamado “triângulo curvilíneo”. Diferente de figuras tradicionais, como triângulos e quadrados, que possuem definições rígidas e fórmulas conhecidas, o triângulo curvilíneo é uma figura que depende de construções específicas.
Não existe uma fórmula única para calcular sua área. O segredo está em decompor a região em áreas conhecidas (triângulos, setores e segmentos circulares) e depois somar ou subtrair de forma estratégica. É um tema que exige raciocínio geométrico e habilidade de visualização, mas que pode ser dominado com prática. Leia este texto para aprender a resolver as principais questões sobre o tema. Vamos lá?
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O que é um triângulo curvilíneo?
O termo triângulo curvilíneo não se refere a um triângulo comum. Ele designa uma região delimitada por três arcos de circunferência, que se encontram em três pontos, formando uma espécie de “triângulo de lados arredondados”.
Visualmente, imagine um triângulo tradicional, mas em vez de lados retos, cada lado é substituído por um arco de circunferência. O resultado é uma figura com três vértices (onde os arcos se encontram) e três lados curvos.
Cálculo da área de um triângulo curvilíneo
Não existe uma fórmula direta para calcularmos a área de um triângulo curvilíneo. O que faremos para descobrir a área dessa figura é somar e subtrair áreas conhecidas. Pode parecer um pouco confuso à primeira vista, mas, ao decorrer do texto, a ideia ficará mais clara.
Portanto, é necessário ter conhecimento das fórmulas para calcular a área de triângulos, área de setores circulares e área de segmentos circulares. Mas, existem algumas configurações comuns de triângulos curvilíneos, para as quais podemos elaborar fórmulas que facilitem o cálculo da área dessas figuras geométricas.
Triângulo curvilíneo formado entre três circunferências tangentes
Uma situação clássica é a seguinte: temos três circunferências externas, mutuamente tangentes, com raios r1, r2 e r3. A região delimitada pelos três arcos de tangência forma o triângulo curvilíneo. Para calcular a área nesses casos:
- Construa o triângulo dos centros das circunferências, sabendo que os vértices desse triângulo são os centros das três circunferências e os lados são r1, r2 e r3;
- Calcule a área desse triângulo; e
- Subtraia as áreas dos setores circulares.
Cada circunferência delimita um setor circular na região central. O ângulo de cada setor é justamente o ângulo interno do triângulo dos centros. Assim, a área final é:
Acurvilíneo = Atriângulo dos centros – (Asetor 1 + Asetor 2 + Asetor 3)
Caso particular: raios iguais (r1 = r2 = r3)
Nesse caso, o triângulo dos centros é equilátero, com lado 2r. Portanto, a área do triângulo é:
Além disso, como o triângulo é equilátero, cada ângulo interno é de 60°, logo cada setor tem área . Assim, os três setores juntos somam πr2/2.
Portanto:
Acurvilíneo =
Triângulo com arcos nos vértices
Outra configuração comum em vestibulares é a seguinte: dentro de um triângulo equilátero, traçam-se arcos de circunferência com centro nos vértices, geralmente com raio igual à metade do lado do triângulo. A região central, delimitada pelos três arcos, é o triângulo curvilíneo. Para calcular a área do triângulo curvilíneo nesses casos:
- Calcule a área do triângulo equilátero: Aequilátero = ;
- Determine a área de cada setor circular: cada setor tem raio l/2 e ângulo de 60°. Logo, cada setor tem área: Asetor = ; e
- Subtraia a soma dos setores do triângulo: Como são três setores: Asetores = .
Dessa maneira, encontramos a fórmula a área de um triângulo curvilíneo interno a um triângulo equilátero:
Acurvilíneo = Aequilátero – Asetores
Acurvilíneo =
Requisitos essenciais no cálculo de triângulos curvilíneos
Para lidar com triângulos curvilíneos com segurança, o estudante precisa dominar três blocos fundamentais da Geometria Plana. Veja-os abaixo:
Áreas de triângulos
Para resolver problemas de regiões delimitadas por arcos, é essencial saber calcular áreas de triângulos de diferentes maneiras, porque eles sempre surgem como parte das decomposições.
As três formas principais são:
- Fórmula base × altura: A = b⋅h/2;
- Fórmula trigonométrica: A = a⋅b⋅sinθ/2; e
- Fórmula de Heron: .
Áreas de setores circulares
O setor circular aparece constantemente em triângulos curvilíneos porque cada arco pertence a uma circunferência, e a área “recortada” por esse arco nada mais é que um setor.
A fórmula é:
- Em graus: Asetor = (θ/360) ⋅ πr2; ou
- Em radianos: Asetor = r2 ⋅ θ/2.
Áreas de segmentos circulares
O segmento circular é uma das peças-chave para compor ou remover partes em um triângulo curvilíneo. Ele é formado pelo arco e pela corda que une as extremidades do arco.
Para calcular sua área: Asegmento = Asetor−Atriângulo associado
Exercícios de fixação
Exercício 1
Três circunferências de raio 2 cm tangenciam-se externamente. Calcule a área do triângulo curvilíneo central.
Resposta:
Acurvilíneo =
Exercício 2
Num triângulo equilátero de lado 8 cm, traçam-se arcos de circunferência de raio 8 cm com centro nos vértices. Determine a área da região central delimitada pelos arcos.
Resposta:
Acurvilíneo = Aequilátero – Asetores
Acurvilíneo =
Erros comuns no cálculo da área de triângulos curvilíneos
- Confundir as áreas que devem ser somadas ou subtraídas. Uma estratégia útil é colorir as regiões nos desenhos para visualizar o que sobra;
- Calcular incorretamente setores circulares. Lembre-se de que o ângulo central deve ser convertido corretamente para graus ou radianos, dependendo da fórmula.;
- Ignorar a dilatação entre raio e lado do polígono. Muitas vezes, o raio dos arcos não coincide exatamente com o lado da figura; e
- Dificuldade em visualizar a decomposição. Um bom hábito é sempre começar desenhando a figura completa e destacando triângulos, setores e segmentos antes de aplicar fórmulas.
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