Desigualdade triangular: definição, aplicações e questões

A desigualdade triangular é um princípio fundamental da geometria que estabelece que, em qualquer triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados deve ser sempre maior que o comprimento do terceiro lado.

Uma maneira intuitiva de entender esse conceito é a ideia de que “o caminho mais curto entre dois pontos é uma linha reta”. Esse assunto costuma ser cobrado nas questões de matemática com frequência, sendo importante estudá-lo mais a fundo. 

Leia este artigo para entender os principais conceitos relacionados à desigualdade triangular e veja algumas questões ao final do texto. Vamos nessa?

Representação geométrica da desigualdade triangular

Podemos visualizar a desigualdade triangular em diferentes tipos de triângulos:

• No triângulo acutângulo equilátero abaixo, temos que todos os lados apresentam medida x. Dessa forma, ao somarmos dois lados do triângulo, o resultado sempre será maior que a medida do terceiro lado.
  • 2x > x

• No triângulo retângulo abaixo, temos lados de medidas 8.3; 8.3 e 11.7. Dessa forma, o valor da soma de dois lados quaisquer desse triângulo, será sempre maior que o valor do outro lado.
  • 8,3 + 8,3 > 11,7
  • 11,7 + 8,3 > 8,3
  • 11,7 + 8,3 > 8,3

• No triângulo obtusângulo abaixo, temos lados de medidas 9.1; 9.7 e 15.8. Dessa forma, o valor da soma de dois lados quaisquer desse triângulo, será sempre maior que o valor do outro lado.
  • 9,1 + 9,7 > 15,8
  • 9,1 + 15,8 > 9,7
  • 9,7 + 15,8 > 9,1

Fórmula da desigualdade triangular

Dado um triângulo qualquer com lados de comprimentos a, b e c, a desigualdade triangular afirma que:

• a + b > c;
• b+ c > a; e
• a + c > b.

Demonstração da desigualdade triangular

Para demonstrarmos a desigualdade triangular, utilizaremos o triângulo ABC, e então traçamos um segmento BD, cujo comprimento seja igual ao lado c do triângulo ABC. Dessa forma, formamos o triângulo ABD (à esquerda do triângulo ABC). 

O triângulo ABD apresenta dois lados de mesma medida, sendo, portanto, um triângulo isósceles, o qual apresenta dois ângulos de mesma medida (representados pelos ângulos β, em vermelho).

A partir dessa representação, podemos formar um terceiro triângulo ACD, o qual possui o ângulo β (em vermelho) e o ângulo α+β. Intuitivamente, tem-se que o ângulo α+β é maior que o ângulo β. A medida do lado de um triângulo é diretamente proporcional ao ângulo oposto a ele. Por conseguinte, o lado oposto ao menor ângulo é menor que o lado oposto ao maior ângulo. 

Dessa forma, o lado b (oposto ao ângulo β) será menor que o lado de medida c+a (oposto ao ângulo α+β). Portanto, em todo triângulo, a soma do comprimento de dois lados sempre será maior que o terceiro lado.

a+c > b

Na aula abaixo, o professor Thiago Limeira demonstra a desigualdade triangular de forma mais aprofundada. Assista à aula para uma melhor compreensão do assunto. 

Aplicações da desigualdade triangular

Problemas clássicos da geometria plana

Na geometria euclidiana, a desigualdade triangular afirma que, em qualquer triângulo, a soma de dois lados é sempre maior que o terceiro lado. Isso tem aplicações diretas em problemas geométricos, como:

• Determinar se três segmentos podem formar um triângulo: Se temos três segmentos de comprimentos a, b e c, eles formarão um triângulo se e somente se: a+b>c, a+c>b, b+c>a;
• Provar desigualdades em triângulos: Por exemplo, podemos usar a desigualdade triangular para provar que, em um triângulo qualquer, a mediana é menor que a semiperímetro; e
• Aplicação em círculos e polígonos: Em polígonos convexos, a soma das distâncias entre vértices consecutivos sempre é maior ou igual à distância direta entre os pontos extremos.

Situações cotidianas

A desigualdade triangular tem aplicações práticas para medir distâncias e otimizar trajetos:

• Cálculo de distâncias em mapas: Se você deseja medir a distância entre duas cidades no mapa, a distância reta (linha aérea) será sempre menor ou igual à soma das distâncias percorridas ao seguir estradas que fazem curvas;
• Otimização de rotas (logística e transportes): Em problemas de roteamento (como entrega de mercadorias ou GPS), a desigualdade triangular pode ser usada para determinar se um caminho intermediário vale a pena ou se um trajeto direto é mais eficiente; e
• Redes de comunicação: Em redes de computadores e telefonia, os dados percorrem múltiplos caminhos entre dois pontos, mas a soma das distâncias percorridas sempre será maior ou igual à conexão direta ideal.

Desigualdade triangular e o conceito de métrica

Uma métrica é uma função que define uma noção de distância entre elementos de um conjunto. Formalmente, uma métrica d em um espaço X deve satisfazer as seguintes propriedades para quaisquer pontos x, y, z ∈ X:

• Não negatividade: d(x,y) ≥ 0 e d(x,y) = 0 se e somente se x = y;
• Simetria: d(x,y) = d(y,x); e
• Desigualdade triangular: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

Nesse contexto, a desigualdade triangular é essencial porque garante que a distância direta entre dois pontos nunca seja maior do que qualquer caminho indireto entre eles.

Veja mais:
+Área de triângulo: como calcular área de figuras de forma simples

Questões envolvendo desigualdade triangular

Unicamp (2024)

Joaquim estava brincando com um graveto, quando acertou uma parede e o graveto se partiu em três pedaços, de comprimentos a,b,c, com a ≤ b ≤ c. Ele recolheu os pedaços e tentou construir um triângulo cujos lados seriam exatamente os pedaços do graveto: não foi possível. Sabendo que o graveto tinha 50 cm de comprimento e que b = a + 2, qual é o maior valor possível de a?

A) 9,5 cm.
B) 10,5 cm.
C) 11,5 cm.
D) 12,5 cm.

Resolução

GABARITO: ALTERNATIVA C

Pela condição de existência dos triângulos, temos que a soma dos dois menores lados (a e b) não pode ser menor ou igual ao terceiro lado. Porém o triângulo não foi possível, logo acontece o inverso:

a + b ≤ c

Sabemos que:

i) a + b + c = 50

ii) b = a + 2

iii) a + b ≤ c

a + a + 2 ≤ c

c ≥ 2a + 2

Substituindo c = 2a+2, temos o maior valor possível de a e de b:

a + a + 2 + 2a + 2 = 50

a = 11,5

Portanto:

Enem (2014)

Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é:

A) 3
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10

Estude com o Estratégia Vestibulares

Aprenda matemática com os cursos do EV. Assim, você terá acesso aos melhores materiais para a sua preparação, além de acesso ao banco de questões e ao fórum de dúvidas para fazer perguntas diretamente aos professores. Clique no banner abaixo e estude conosco!