A circunferência está presente em diferentes áreas do conhecimento, sendo um dos conceitos geométricos mais estudados. Compreender seu significado e seus elementos é essencial para interpretar e resolver diferentes problemas.
Conhecer partes como raio, diâmetro, corda e arcos ajuda a entender melhor as propriedades da circunferência e as relações entre seus elementos. Além disso, abre espaço para aplicações em áreas como a geometria, a trigonometria e a física.
Neste texto, você vai conhecer os principais elementos da circunferência, suas propriedades e relações, além de aplicações práticas em cálculos de áreas, comprimentos e arcos. Acompanhe abaixo.
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Definição de circunferência e círculo
É muito comum que os conceitos de circunferência e círculo sejam confundidos, por isso, é essencial esclarecer a diferença entre esses dois termos. Acompanhe a seguir:
- Circunferência: é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, chamado centro. Em outras palavras, representa apenas o “contorno”; e
- Círculo: é a união da circunferência com sua região interna, ou seja, a área preenchida.
Portanto, quando falamos em comprimento, estamos nos referindo à circunferência, já quando falamos em área, estamos tratando do círculo.
Elementos da circunferência
Após diferenciar circunferência e círculo, é importante conhecer os elementos que compõem essa figura geométrica. Eles possuem definições próprias que desempenha papel fundamental na compreensão de suas propriedades e aplicações:
O centro da circunferência
É o ponto fixo que está equidistante de todos os pontos da linha circular. Ele é a referência para todos os cálculos e propriedades. Sem o centro, não conseguimos definir raio, diâmetro ou mesmo relacionar os demais elementos.
Raio (r)
O raio é qualquer segmento de reta que liga o centro a um ponto da circunferência. É um dos elementos mais básicos e importantes da circunferência.
Todos os raios de uma circunferência têm o mesmo comprimento, já que todos os seus pontos estão à mesma distância do centro. Eles representam a medida fundamental da circunferência, pois, a partir dele, conseguimos calcular comprimento e área:
- Comprimento da circunferência:
C=2πr
- Área do círculo:
A=πr²
Diâmetro (d)
O diâmetro é qualquer segmento de reta que liga dois pontos da circunferência e passa obrigatoriamente pelo centro.
É outro conceito essencial que, em outras palavras, indica a maior “largura” da circunferência. É sempre o dobro do raio, ou seja, apresenta uma relação fundamental com o raio, observe:
d=2r
Corda
Uma corda é qualquer segmento de reta que liga dois pontos distintos da circunferência. Toda corda está contida dentro da circunferência, mas nem toda corda é diâmetro. Assim, o diâmetro, na verdade, é a maior corda possível da circunferência.
Arco
Um arco é a porção da circunferência limitada por dois pontos. Uma corda determina sempre dois arcos: o arco menor (o mais curto) e o arco maior (o mais longo).
A medida de um arco é geralmente dada em graus ou radianos, e está diretamente relacionada ao ângulo central correspondente. Por exemplo, se o ângulo central mede 60°, o arco correspondente também terá 60°.
+ Veja também: Arco Capaz: teoria, casos especiais e aplicações
Flecha (ou sagita)
A flecha é o segmento de reta perpendicular a uma corda, que liga o ponto médio da corda ao ponto mais distante do arco correspondente. Em termos práticos, ela é como a “altura” do segmento circular, a região limitada por uma corda e seu arco.
Se temos o raio “r”, a corda de comprimento “c” e a flecha “f”, é possível aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo formado. Isso permite calcular qualquer um desses elementos, caso os outros sejam conhecidos.
Relações importantes entre os elementos
Além das definições individuais, os elementos da circunferência apresentam relações entre si que revelam propriedades importantes dessa figura geométrica:
- Todo diâmetro é uma corda, mas nem toda corda é um diâmetro;
- Uma corda divide a circunferência em dois arcos;
- A flecha e o raio traçado até o ponto médio da corda são sempre perpendiculares à corda; e
- Se um raio é perpendicular a uma corda, ele a divide ao meio, assim como o arco correspondente.
Ângulos na Circunferência (Conexão)
Os ângulos relacionados à circunferência estabelecem conexões diretas com seus arcos e permitem compreender melhor as propriedades dessa figura, destacando especialmente os ângulos centrais e inscritos:
- Ângulo Central: tem vértice no centro da circunferência e seus lados são dois raios. A medida do ângulo central é igual à medida do arco que ele subtende (α = BC).
- Ângulo Inscrito: tem vértice sobre a circunferência e seus lados são cordas que interceptam um arco. A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco que ele subtende (β = BC/2) .
Essa relação conecta os elementos da circunferência com trigonometria e arcos, sendo muito útil na resolução de problemas.
Resolução de Problemas
Os vestibulares frequentemente trazem questões que exigem a aplicação prática dos conceitos. Alguns exemplos típicos:
- Cálculo do raio ou diâmetro: dado o comprimento da circunferência ou a área do círculo, determinar r ou d;
- Uso do Teorema de Pitágoras: relacionando raio, metade da corda e a flecha;
- Arcos: calcular a medida de um arco em graus ou radianos, ou seu comprimento (usando θ/360°⋅2πr); e
- Questões contextualizadas: como calcular o raio de uma roda, a distância entre pontos em uma pista circular, ou a área ocupada por um setor circular.
Erros comuns e como evitá-los
No estudo da circunferência, alguns equívocos acontecem com frequência e podem comprometer a resolução de problemas. Identificar esses erros e saber como evitá-los é fundamental para aplicar os conceitos de forma correta e segura.
- Confundir raio e diâmetro: lembre-se, o raio vai do centro até a borda; o diâmetro atravessa a circunferência passando pelo centro;
- Confundir corda com arco: a corda é um segmento de reta, enquanto o arco é uma parte curva da circunferência;
- Errar ao usar a flecha: é fundamental identificar o ponto médio da corda e traçar a perpendicular;
- Cálculo incorreto com Pitágoras: verifique sempre qual é a hipotenusa e quais são os catetos; e
- Trocar fórmulas: o comprimento da circunferência é 2πr, enquanto a área do círculo é πr².
Questões no vestibular sobre elementos da circunferência
URCA (2023/1)
Seja C um círculo de diâmetro 15 unidades de comprimento. Quanto representa 60% da área desse círculo?
A) 135π/4
B) 121π/4
C) 115π/4
D) 109π/4
E) 105π/4
Resposta:
Diâmetro 15 ⇒ raio r=7,5.
Área do círculo:
60%de A:
Alternativa correta:
A
UPE SSA (2020)
A figura abaixo mostra três círculos concêntricos e dois diâmetros perpendiculares.
Se os círculos têm raios que medem, respectivamente, 4, 6 e 7, quanto mede a área da parte pintada?
A) 3,25 π
B) 4,00 π
C) 5,00 π
D) 9,00 π
E) 12,25 π
Resposta:
Perceba que a união das partes pintadas é referente a ¼ de círculo do maior raio. Logo podemos fazer:
Alternativa correta:
E
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