Equações: principais tipos, fórmulas e aplicações

Você já viu alguma questão sobre equações no Enem? O tema, que é muito abrangente, aparece das mais diversas formas. Seja por meio de problemas lógicos, apresentação de gráficos e tabelas ou utilização de fórmulas, os cálculos de equações estão entre os mais cobrados na prova de matemática.

Neste artigo, você encontra um panorama geral sobre o tema em seus diferentes aspectos: equações de primeiro e segundo grau, algébrica, modulares, logarítmica, trigonométrica, exponencial, irracional, com suas fórmulas e principais aplicações. Acompanhe agora!

O que são equações algébricas?

As equações são ferramentas matemáticas em que há uma igualdade entre valores e operações, entretanto, um dos termos dentro do cálculo não é conhecido, ele é chamado de incógnita. Diante disso, é necessário realizar manipulações matemáticas para encontrar o valor desconhecido. Veja exemplos:

4x + 12 = 3x + 15

5y – 3y + 7= y + 8

Observe que a incógnita é descrita com letras e, geralmente, são escolhidas entre x, y ou z. Mas isso não é uma regra e qualquer letra do alfabeto pode ser utilizada para representar o número desconhecido. Essa junção entre números e letras, é denominada de álgebra, então as equações são classificadas como algébricas. 

O objetivo principal na resolução de uma equação é encontrar um valor para incógnita apresentada. Para isso, é necessário que o cálculo deixe de ser uma equação e se torne uma identidade.

Na matemática, identidade é uma expressão numérica em que o valor de um lado é exatamente igual ao do outro lado. Veja um exemplo:

4x + 12 = 3x + 15

4x – 3x = 15 – 12

x = 3

Ao fazer a substituição da incógnita pelo seu valor real (x=3), teremos que:

4x + 12 = 3x + 15

4.3 + 12 = 3.3 + 15

24 = 24 (identidade)

Equação do primeiro grau

As equações podem ser classificadas conforme seu grau. O grau é dado pelo maior expoente na incógnita. Perceba, então, que não importa qual será o expoente em outros números, basta observar os expoentes que elevam a incógnita. Dessa forma, uma equação do primeiro grau contém todas as incógnitas com expoente igual a 1. 

112x + 14 = 100x + 78

x + 6 = 27

45 – 7x = 11x

4² + 3x = x + 1  

Observe que, no último exemplo apresentado, um dos termos está elevado ao quadrado. Entretanto, não existe potência de 2 que eleve a incógnita em si, por isso a classificação continua sendo de equação do primeiro grau. 

Equação do segundo grau

No caso da equação de segundo grau, uma das incógnitas deve estar elevada ao quadrado (x²) ou estar multiplicada por outra incógnita (x.y). Nesse caso, existem dois resultados possíveis para a mesma incógnita.

Isso acontece porque o número de soluções para uma equação é igual ao número do grau do cálculo. Na equação de grau 2, dois valores podem ser substituídos na equação e formar uma identidade. Eles são representados por x₁ e x₂, geralmente. 

16x – x² = 60 

x₁ = 6 

x₂ = 10

Dada a equação do segundo grau e seus dois resultados, vamos testar se formam identidades se x for substituído por x₁ ou x₂.

Para x₁:

16x – x² = 60

16.6 – 36 = 60

16.6 = 60 + 36

96 = 96 (é uma identidade, então x₁ é verdadeiro)

Para x₂:

16x – x² = 60

16.10 – 100= 60

16.10 = 60 + 100

160 = 160 (também é uma identidade, x₂ é verdadeiro)

A estrutura geral de uma equação de segundo grau é dada por:

ax² + bx + c = y

a,b e c são coeficientes que regem a incógnita x, resultando no valor y. 

Note que a, b e c podem ser substituídos por qualquer número para constituir essa equação do segundo grau, como demonstrado abaixo:

4x² + 3x + 1 = y

a = 4

b = 3

c = 1

Para encontrar o valor da incógnita é possível utilizar duas fórmulas principais, que utilizam os coeficientes como base:

• Bhaskara: ou;
• Soma e produto: x₁.x₂ = c/a e x₁ + x₂ = -b/a

Equação biquadrada

Uma equação biquadrada possui pelo menos um coeficiente elevado ao quarto grau, sua lei de formação geral é dada por:

ax⁴ + bx² + c = 0

a, b e c podem ser qualquer valor real diferente de zero.

Note como as incógnitas estão elevadas a expoentes pares (x⁴ e x²), essa pode ser uma característica importante para reconhecer a equação biquadrada em questões de prova. Por essa propriedade, ela é considerada uma equação redutível ao segundo grau, o que facilita os cálculos. Veja abaixo:

ax⁴ + bx² + c = 0

a.x².x² + b.x² + c = 0

Para a transformação, considera-se que x²  = y, então a equação passa a ser

a.y.y + b.y + c = 0

ay² + by + c = 0

A equação biquadrada de incógnita x transformou-se em uma equação de segundo grau de incógnita y. Ao final, encontram-se y₁ e y₂. Cada um desses valores devem ser igualados a x² e formar um novo cálculo do segundo grau, com duas respostas cada (x₁, x₂, x₃, x₄).

y₁ = x² ⇒ x₁ e x₂

y₂ = x² ⇒ x₃  e x₄

Equação modular

O módulo, na matemática, fornece o valor absoluto de algo, ou seja, a quantidade será sempre contada em números positivos. Então, uma equação modular possui pelo menos uma incógnita em valor absoluto.Ou seja, é necessário que a incógnita apareça pelo menos uma vez dentro do módulo (lxl). 

lxl = x

l-xl = x

No exemplo acima fica evidente que a modulação altera completamente os resultados da equação, por isso é importante atentar-se a essa entidade da matemática. Em alguns casos, ainda, ocorrem uma operações dentro do módulo, então o resultado da conta é quem deve aparecer em valor absoluto. Seja x = -7, a equação abaixo deve ser resolvida da seguinte forma:

lx + 4l = 

l- 7 + 4l = 

l-3l = 

l-3l = 3

lx + 4l = 3

Um dos pontos mais importantes das expressões modulares está na sua tendência para a positividade. Quando uma equação modular tem relação com uma função matemática f(x), observa-se que o gráfico fica tendencioso para y>0, observe a figura:

Essa imagem é uma representação dos tipos mais clássicos de equação modular, mas não é uma regra que y>0 para que a classificação seja válida.

Equação exponencial

Nas equações exponenciais, pelo menos uma incógnita deve aparecer no expoente de um número. Com isso, muitas vezes, é necessário realizar a operação inversa (logaritmo) para encontrar a resolução da expressão algébrica. 

4^x = 25 – 9 

5^x = 101 + 8.x

Observe que a incógnita pode aparecer como um termo simples da equação e também como expoente de outro valor. Além disso, é importante conhecer as principais potências e seus resultados, para facilitar a resolução de cálculos que terminam em valores comuns, como 2² = 4, 2³ = 8, 5² = 25, 4² = 16, entre outros.

Acompanhe a solução de uma equação exponencial:

CEFET-MG 2010

Considerando a equação 2^x = 5 e que log 2 = 0,3, o valor mais próximo de X é:

a) 2,2

b) 2,3

c) 2,4

d) 2,5

2^x = 5

log 2^x = log 5

A partir das propriedades logarítmicas, é possível substituir 5 por 10/2 e admitir que log 2^x = x.log 2:

x. log 2 = log (10/2)

x .log 2 = log 10 – log 2

Como log 10 = 1 e log 2= 0,3, teremos que:

x.0,3 = 1 – 0,3

x = 0,7/03

x=2,33 (alternativa C)

Atente-se para o fato de que as equações logarítmica e exponencial se somaram para a resolução dessa questão.

+ Veja também: Equação irracional: o que é e como resolver

Equação logarítmica 

O logaritmo é uma ferramenta da matemática que permite a manipulação dos expoentes em um valor ou incógnita. São a operação inversa da exponenciação e são chamados de “logs” e apresentam um logaritmando e uma base, como mostra a figura a seguir. 

b>0, a>0 e a≠1

Em muitos casos, o exercício requer que se encontre o valor do logaritmando. Para isso, é construída uma equação logarítmica, como a demonstrada abaixo:

log₃ 8 + log₃(x+2)= 4

Perceba que o logaritmando b = x + 2. Então, é necessário aplicar os conhecimentos sobre logaritmos e suas propriedades, de forma a encontrar o valor da incógnita.

Equação trigonométrica

A equação trigonométrica é aquela que adiciona os conceitos de grau, seno, cosseno e tangente dos ângulos ao contexto da álgebra. Para resolvê-las, é necessário observar o valor dos arcos e grandezas trigonométricas e adicionar ao desenvolvimento do cálculo. Nesses casos é relevante lembrar que 𝜋 = 180º e 2𝜋  = 360º, para facilitar a correlação entre radianos e graus. 

4 sen x = 1

cos² x = 1/2

Por convenção foram adotados valores de arco para cada um dos ângulos e são esses os valores utilizados para a resolução das equações trigonométricas. No gráfico abaixo, você pode observar a relação entre seno e cosseno com os valores de arco para uma função vermelha f(x) = sen x e na função azul f(x) = cos (x).

Isso significa, por exemplo, que:

• seno 0 = 0;
• seno 1/2𝜋 = 1;
• seno 𝜋 = 0;
• seno 3/2𝜋 = -1;
• cosseno 0 = 1;
• cosseno 1/2𝜋 = 0;
• cosseno 𝜋 = -1; e
• cosseno 3/2𝜋 =0.

Resolução de equações

A resolução de equações depende de diferentes conhecimentos matemáticos. O jogo de sinais é um conhecimento importante, além da manipulação de igualdades para que as operações matemáticas mantenham-se as mesmas no decorrer do cálculo.

A operação inversa da multiplicação é a divisão, da subtração é a soma, da exponenciação são os logaritmos. Com essas informações, é possível inverter os termos de lado na igualdade, preservando a veracidade do cálculo. 

Para além de saber resolver uma equação, os vestibulares cobram a habilidade de interpretar dados e construir expressões algébricas a partir deles. Seja para a construção de gráficos, compreensão de lucros e prejuízos, entre outras problemáticas apresentadas em provas.

Questões de equações no Enem

ENEM 2012

Um maquinista de trem ganha R$100,00 por viagem e só pode viajar a cada 4 dias. Ele ganha somente se fizer a viagem e sabe que estará de férias de 1º a 10 de junho, quando não poderá viajar. Sua primeira viagem ocorreu no dia primeiro de janeiro. Considere que o ano tem 365 dias.

Se o maquinista quiser ganhar o máximo possível, quantas viagens precisará fazer?

a) 37
b) 51
c) 88
d) 89
e) 91

O raciocínio deste exercício exige a criação de uma equação que forneça a quantidade de viagens máximas possíveis de serem feitas.

O primeiro ponto está na observação de que o indivíduo possui 365 – 10 = 355 dias disponíveis para o trabalho. Depois disso, nota-se que seu recebimento está atrelado a um total de 4 dias trabalhados. De forma que, o número de viagens multiplicado pelo número de dias ativos deve preencher o máximo de tempo do ano:

365 – 10 = 4.x
355 = 4.x
x = 355/4
x = 88,75

Como o número de viagens não pode ser incompleto, a quantidade máxima de trabalhos completos é de 88, como aponta a alternativa C.

Note como a resolução do exercício agrega a construção de uma expressão algébrica que transmitisse as ideias enunciadas, de maneira que a matemática aparece como uma ferramenta de desenvolvimento lógico.

Alternativa C

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