Resolução da prova de Matemática da 2ª Fase da Fuvest 2020

Olá, pessoal… Tudo bem? Sou o prof. Marçal Ferreira, professor de Matemática do Estratégia Vestibulares. Escrevo este artigo para resolver as questões da prova da 2ª Fase do vestibular da FUVET 2020. Nesta página, você vai conferir a resolução completa e ainda vai poder baixar gratuitamente os comentários em PDF.

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Questão 01

A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado.

Com relação a essa tabela de números:

a) Escolha um quadrado 3 x 3 e, exibindo a soma de seus 9 números, verifique que o resultado é múltiplo de 9.

b) Um quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números o valor de 1.056 (mil e cinquenta e seis). Descubra o menor número desse quadrado.

c) A soma de todos os números de um quadrado n x n, com menor número igual a 4, é de 108.000 (cento e oito mil). Qual é o valor de n?

Gabarito

a) Iniciando a contagem em qualquer posição, temos um quadrado de 3×3 genérico da forma:

$\large \begin{matrix}x&x+1&x+2\\x+7&x+8&x+9\\x+14&x+15&x+16\\\end{matrix}$

$\large Soma=9x+1+2+7+8+9+14+15+16$

$\large Soma=9x+72$

$\large Soma=9\cdot\left(x+8\right)$

Dessa forma, a soma sempre será um múltiplo de nove.

b) De maneira similar ao anterior, temos:

$\large \begin{matrix}x&x+1&x+2&x+3\\x+7&x+8&x+9&x+10\\x+14&x+15&x+16&x+17\\x+21&x+22&x+23&x+24\\\end{matrix}$

$\large 16x+192=1056$

$\large 16x=864$

$\large x=54$

c) O quadrado em questão é do tipo:

$\large \begin{matrix}4&5&6&7&\cdots&4+n-1\\11&12&13&14&\cdots&11+n-1\\18&19&20&21&\cdots&18+n-1\\25&26&27&28&\cdots&25+n-1\\\vdots&\cdot\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\\end{matrix}$

$\large \begin{matrix}4&4+1&4+2&4+3&\cdots&4+n-1\\4+7&4+8&4+9&4+10&\cdots&4+7+n-1\\4+14&4+15&4+16&4+17&\cdots&4+14+n-1\\4+21&4+22&4+23&4+24&\cdots&4+21+n-1\\\vdots&\cdot\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\\end{matrix}$

$\large 4n^2+\begin{matrix}0&1&2&3&\cdots&n-1\\7&7+1&7+2&7+3&\cdots&7+n-1\\7\cdot2&7\cdot2+1&7\cdot2+2&7\cdot2+3&\cdots&7\cdot2+n-1\\7\cdot3&7\cdot3+1&7\cdot3+2&7\cdot3+3&\cdots&7\cdot3+n-1\\\vdots&\cdot\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\\end{matrix}$

$\large 4n^2+\left(0+1+2+3+\ldots+n-1\right)\cdot n+$

$\large +\left(0+7+7\cdot1+7\cdot2+7\cdot3+\ldots+7\cdot\left(n-1\right)\right)\cdot n=108000$

$\large 4n^2+\left(0+1+2+3+\ldots+n-1\right)\cdot n+$

$\large +7\cdot\left(0+1+2+3+\ldots+n-1\right)\cdot n=108000$

$\large 4n^2+8\cdot\left(0+1+2+3+\ldots+n-1\right)\cdot n=108000$

$\large 4n^2+8\cdot\left(n-1\right)\cdot\frac{n}{2}\cdot n=108000$

$\large 4n^2+4n^3-4n^2=108000$

$\large 4n^3=108000$

$\large n^3=27000$

$\large n=30$

Questão 02

O Floco de Neve de Koch (ou Estrela de Koch) é uma construção geométrica recursiva cujos primeiros passos se desenvolvem da seguinte forma:

Os passos seguintes (Passo 3, Passo 4, Passo 5, …) seguem o mesmo procedimento descrito no Passo 1, em cada lado da figura obtida no passo anterior. Considerando os passos descritos e os próximos passos, responda:

a) Qual é o número de lados da figura no Passo 3?

b) Qual é o perímetro da figura no Passo 5?

c) A partir de qual Passo o número de lados da figura supera 6.000.000.000.000 (seis trilhões)?

Gabarito

a) $\large N\left(p\right)=3\cdot\left(4\right)^p$

$\large N\left(3\right)=3\cdot\left(4\right)^3$

$\large N\left(3\right)=3\cdot2^6$

$\large N\left(3\right)=192$

b) $\large P\left(p\right)=3\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^p$

$\large P\left(5\right)=3\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^5$

$\large P\left(5\right)=3\cdot\frac{2^{10}}{3^5}$

$\large P\left(5\right)=\frac{2^{10}}{3^4}$

c) $\large N\left(p\right)=3\cdot\left(4\right)^p$

$3\cdot\left(4\right)^p>6\cdot{10}^{12}” alt=”\large 3\cdot\left(4\right)^p>6\cdot{10}^{12}” align=”absmiddle”></p><p><img decoding=$ Questão 03

Um jogo educativo possui 16 peças nos formatos: círculo, triângulo, quadrado e estrela, e cada formato é apresentado em 4 cores: amarelo, branco, laranja e verde. Dois jogadores distribuem entre si quantidades iguais dessas peças, de forma aleatória.

O conjunto de 8 peças que cada jogador recebe é chamado de coleção.

a) Quantas são as possíveis coleções que um jogador pode receber?

b) Qual é a probabilidade de que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas?

c) A regra do jogo estabelece pontuações para as peças, da seguinte forma: círculo = 1 ponto, triângulo = 2 pontos, quadrado = 3 pontos e estrela = 4 pontos. Quantas são as possíveis coleções que valem 26 pontos ou mais?

Gabarito

a) $\large C_{16,8}=\left(\begin{matrix}16\\8\\\end{matrix}\right)=\frac{16!}{8!\cdot8!}$

$\large C_{16,8}=\frac{16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$

$\large C_{16,8}=13\cdot11\cdot10\cdot9$

$\large C_{16,8}=12870$

b) $\large P=\frac{\left(\begin{matrix}12\\2\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}4\\2\\\end{matrix}\right)}{\left(\begin{matrix}16\\8\\\end{matrix}\right)}$

$\large P=\frac{924\cdot6}{12870}$

$\large P=\frac{28}{65}$

c) $\large P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6+P_7+P_8\geq26$

As coleções possíveis são:

$\large 28\ pontos$

$\large 4\ estrelas+4\ quadrados$

$\large C_{4,4}\cdot C_{4,4}$

$\large 1\cdot1$

$\large 1$

$\large 27\ pontos$

$\large 4\ estrelas+3\ quadrados+1\ triangulo$

$\large C_{4,4}\cdot C_{4,3}\cdot C_{4,1}$

$\large 1\cdot4\cdot4$

$\large 16$

$\large 26\ pontos$

$\large 4\ estrelas+3\ quadrados+1\ circulo$

$\large C_{4,4}\cdot C_{4,3}\cdot C_{4,1}$

$\large 1\cdot4\cdot4$

~~$\large 16$~~

$\large 26\ pontos$

$\large 4\ estrelas+2\ quadrados+2\ triangulos$

$\large C_{4,4}\cdot C_{4,2}\cdot C_{4,2}$

$\large 1\cdot6\cdot6$

$\large 36$

$\large 26\ pontos$

$\large 3\ estrelas+4\ quadrados+1\ triangulos$

$\large C_{4,3}\cdot C_{4,4}\cdot C_{4,1}$

$\large 4\cdot1\cdot4$

$\large 16$

$\large N=1+16+16+36+16$

$\large N=85$

Questão 04

São dados:

• uma circunferência S de centro 0 e raio 5;

• quatro pontos X, Y, Z e W em 5 de tal forma que as retas tangentes a S nesses pontos formam um trapézio ABCD, como na figura;

• $\large sen\ (BÂW)= \frac{3}{5}\ e\ CD=15$ .

a) a medida de $\large \overline{AB}$ ;

b) a medida de $\large \overline{AW}$ e $\large \overline{AX}$ ;

c) a área da região delimitada pelo trapézio ABCD.

Gabarito

a) $\large sen\alpha=\frac{3}{5}$

$\large sen\alpha=\frac{co}{hip}=\frac{2R}{AB}$

$\large \frac{3}{5}=\frac{2R}{AB}$

$\large AB=\frac{50}{3}$

b) $\large sen\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{R}{AW}$

$\large AW=\frac{R}{sen\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

$\large sen^2\alpha+\cos^2{\alpha}=1$

$\large sen\alpha=\frac{3}{5}$

$\large cos\ \alpha=\frac{4}{5}$

$\large tg\left(\alpha\right)=\frac{sen\alpha}{cos\ \alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{\cancel 5}\cdot\frac{\cancel 5}{4}=\frac{3}{4}$

$\large tg\left(2x\right)=\frac{2\cdot t g\left(x\right)}{1-tg^2\left(x\right)}$

$\large tg\left(\alpha\right)=\frac{2\cdot t g\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1-tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

$\large \frac{3}{4}=\frac{2\cdot t g\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1-tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

$\large 3\cdot\left(1-tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)=4\cdot2\cdot tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$\large 3-3\cdot tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=4\cdot2\cdot tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$\large 3\cdot tg^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)+8\cdot tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)-3=0$

$\large \Delta = 8^2-4\cdot 3\cdot \left(-3\right)=64+36=100$

$\large tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{-8\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}==\left\{\begin{matrix} tg'\left ( \frac{\alpha }{2} \right )=\frac{-8+10}{6}=\frac{1}{3} & \\ & \\ & \\ tg''\left ( \frac{\alpha }{2} \right )==\frac{-8-10}{6}={\cancel{-3}}\end{matrix}\right.$

Não há tangente negativa.

$\large AW=\frac{R}{tg\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

$\large AW=\frac{5}{\frac{1}{3}}$

$\large AW=15$

$\large AX=15$

c) $\large S=\frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}$

$\large S=\frac{\left(AD+BC\right)\cdot2R}{2}$

$\large S=\left(AB+CD\right)\cdot R$

$\large S=\left(\frac{50}{3}+15\right)\cdot5$

$\large S=\frac{475}{3}$

Questão 05

É dada a função $\large f:\left[0;\pi\right]\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $\large f\left(x\right)=sen^4x+\cos^4{x}$ para todo $\large x\in\left[0;\pi\right]$ .

a) Apresente três valores $\large x\in\left[0;\pi\right]$ para os quais $\large f\left(x\right)=1$ .

b) Determine os valores de $\large x\in\left[0;\pi\right]$ para os quais $\large f\left(x\right)=\frac{5}{8}$ .

c) Determine os valores de $\large x\in\left[0;\pi\right]$ para os quais $\large \frac{1}{2}\cdot f\left(x\right)+\frac{3}{8}\cdot sen\left(2x\right)\geq\frac{5}{8}$ .

Gabarito

a) Apresente três valores $\large x\in\left[0;\pi\right]$ para os quais $\large f\left(x\right)=1$ .

$\large f\left(x\right)=1$

$\large sen^4x+\cos^4{x}=1$

$\large sen^2x+\cos^2{x}=1$

$\large \left(sen^2x+\cos^2{x}\right)^2=1^2$

$\large sen^4x+2\cdot sen^2x\cdot\cos^2{x}+\cos^4{x}=1$

$\large f\left(x\right)+2\cdot sen^2x\cdot\cos^2{x}=1$

$\large f\left(x\right)+2\cdot sen\ x\cdot\cos{x}\cdot sen\ x\cdot\cos{x}=1$

$\large f\left(x\right)+sen\ 2x\cdot\frac{sen\ 2x}{2}=1$

$\large f\left(x\right)+\frac{sen^2\ 2x}{2}=1$

$\large 1+\frac{sen^2\ 2x}{2}=1$

$\large \frac{sen^2\ 2x}{2}=0$

$\large sen^2\ 2x=0$

$\large sen\ 2x=0$

$\large 2x=k\cdot\pi$

$\large x=\frac{k\cdot\pi}{2}$

$\large x=0;\frac{\pi}{2};\pi$

b) Determine os valores de $\large x\in\left[0;\pi\right]$ para os quais $\large f\left(x\right)=\frac{5}{8}$ .

$\large f\left(x\right)=\frac{5}{8}$

$\large f\left(x\right)+\frac{sen^2\ 2x}{2}=1$

$\large \frac{5}{8}+\frac{sen^2\ 2x}{2}=1$

$\large \frac{sen^2\ 2x}{2}=\frac{3}{8}$

$\large sen^2\ 2x=\frac{3}{4}$

$\large sen\ 2x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$

$\large 2x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi$

$\large x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}$

$\large \left\{\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3};\frac{5\pi}{6}\right\}$

c) Determine os valores de $\large x\in\left[0;\pi\right]$ para os quais $\large \frac{1}{2}\cdot f\left(x\right)+\frac{3}{8}\cdot sen\left(2x\right)\geq\frac{5}{8}$ .

$\large f\left(x\right)+\frac{sen^2\ 2x}{2}=1$

$\large f\left(x\right)=1-\frac{sen^2\ 2x}{2}$

$\large \frac{1}{2}\cdot f\left(x\right)+\frac{3}{8}\cdot sen\left(2x\right)\geq\frac{5}{8}$

$\large \frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{sen^2\ 2x}{2}\right)+\frac{3}{8}\cdot sen\left(2x\right)\geq\frac{5}{8}$

$\large \frac{1}{2}-\frac{sen^2\ 2x}{4}+\frac{3}{8}\cdot sen\left(2x\right)\geq\frac{5}{8}$

$\large 4-2\cdot sen^2\ 2x+3\cdot sen\left(2x\right)\geq5$

$\large -4+2\cdot sen^2\ 2x-3\cdot sen\left(2x\right)\le-5$

$\large 2\cdot sen^2\ 2x-3\cdot sen\left(2x\right)+1\le0$

$\large \Delta \left(-3\right)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$

$\large sen\left(2x\right)=\frac{-\left(-3\right)\pm\sqrt1}{2\cdot2}=\left\{\begin{matrix}sen'\left(2x\right)=\frac{3+1}{4}=1\\\ \\sen''\left(2x\right)=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\\\end{matrix}\right.$

$\large \frac{1}{2}\le sen\ \left(2x\right)\le1$

$\large \frac{\pi}{6}\le2x\le\frac{5\pi}{6}$

$\large \frac{\pi}{12}\le x\le\frac{5\pi}{12}$

Questão 06

Resolva os três itens abaixo:

a) Considere o conjunto formado pelos números complexos z que cumprem a condição $\large Re(z)=Im(z)$ . Cada elemento desse conjunto será objeto da transformação que leva um número complexo em seu conjugado. Represente no plano complexo (ou plano de Argand-Gauss) da folha de respostas o conjunto resultante após essa transformação.

b) Determine o lugar geométrico dos pontos z do plano complexo tais que $\large z\ \neq-1$ e para os quais $\large \frac{z-1}{z+1}$ é um número imaginário puro.

c) Determine as partes reais de todos os números complexos z tais que as representações de z, i e 1 no plano complexo sejam vértices de um triângulo equilátero.

Gabarito

$\large z=a+b\cdot i$

$\large Re\left(z\right)=Im\left(z\right)$

$\large a=b$

$\large z=a+a\cdot i$

$\large \bar{z}=a-a\cdot i$

$\large \alpha=-45\degree$

$\large \frac{z-1}{z+1}$

$\large \frac{a+b\cdot i-1}{a+b\cdot i+1}$

$\large \frac{\left(a-1\right)+b\cdot i}{\left(a+1\right)+b\cdot i}\cdot\frac{\left(a+1\right)-b\cdot i}{\left(a+1\right)-b\cdot i}$

$\large \frac{a^2+b^2-1+2\cdot b\cdot i}{\left(a+1\right)^2+b^2}$

$\large \frac{a^2+b^2-1}{\left(a+1\right)^2+b^2}+\frac{2\cdot b\cdot i}{\left(a+1\right)^2+b^2}$

$\large \frac{a^2+b^2-1}{\left(a+1\right)^2+b^2}=0$

$\large a^2+b^2-1=0$

$\large a^2+b^2=1$

$\large z\neq-1$

Lugar Geométrico é uma circunferência com centro na origem, exceto o ponto z=-1.

$\large d=\sqrt2$

$\large \sqrt{\left(1-x\right)^2+\left(0-x\right)^2}=\sqrt2$

$\large \left(1-x\right)^2+x^2=2$

$\large 1-2x+x^2+x^2=2$

$\large 2x^2-2x-1=0$

$\large \Delta =\left(-2\right)^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=4+8=12$

$\large x=\frac{-\left(-2\right)\pm\sqrt{12}}{2\cdot2}=\left\{\begin{matrix}x^\prime=\frac{2+2\sqrt3}{4}=\frac{1+\sqrt3}{2}\\\ \\x^{\prime\prime}=\frac{2-2\sqrt3}{4}=\frac{1-\sqrt3}{2}\\\end{matrix}\right.$

$\large \frac{1+\sqrt3}{2}\ e\ \frac{1-\sqrt3}{2}$

É isso, pessoal! Espero que tenham curtido a resolução da prova de Matemática da prova do Vestibular FUVEST 2020, 2ª Fase. Sigam-me nas redes sociais. Têm muitas dicas lá. Mande uma mensagem, caso tenha tido alguma dúvida.

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