A matéria sobre polígonos é uma daquelas que sempre chamam a atenção em provas de vestibulares e olimpíadas de matemática. Isso porque ela reúne várias propriedades importantes da geometria, como ângulos, áreas e inscritos, relações entre cordas e apótemas, além de noções de simetria e regularidade.
Para entender como essas figuras funcionam e se relacionam com a geometria, leia mais sobre esse assunto no artigo a seguir do Estratégia vestibulares:
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Definição de polígono circunscrito
Um polígono estar circunscrito a uma circunferência significa que todos os seus lados são tangentes a essa circunferência, ou seja, cada lado do polígono toca a circunferência em apenas um ponto, sem atravessá-la. Já a circunferência que está dentro do polígono, que é tangenciada por todos os seus lados, é chamada de circunferência inscrita no polígono.
Essa configuração geométrica é característica dos polígonos circunscritos e possui importantes propriedades, especialmente em polígonos regulares, onde todos os lados são iguais e a circunferência inscrita é perfeitamente centralizada.
Polígonos regulares
Quando o polígono é regular algumas propriedades geométricas se destacam. Uma delas é a existência de um centro do polígono, que é um ponto único que se localiza à mesma distância de todos os vértices e à mesma distância de todos os lados.
Outra propriedade é a circunferência circunscrita, trata-se da circunferência que passa exatamente por todos os vértices do polígono regular. O centro dessa circunferência coincide com o centro do polígono, reforçando a ideia de equilíbrio e uniformidade da figura.
Além disso, o polígono regular também possui circunferência inscrita, ou seja, uma circunferência que toca todos os lados do polígono em um único ponto de cada lado. Assim como a circunferência circunscrita, o centro da circunferência inscrita coincide com o centro do polígono, mostrando que esse ponto central é realmente responsável por unificar todas as suas propriedades geométricas.
Os centros coincidem devido à simetria rotacional, o ponto equidistante de todos os vértices (centro da circunferência circunscrita) é também equidistante de todos os lados (centro da circunferência inscrita).
Geometricamente, esse ponto pode ser visto como a interseção entre todas as bissetrizes dos ângulos internos e também entre todas as mediatrizes dos lados, mostrando que ele ocupa uma posição central na figura.
Elementos importantes do polígono regular circunscrito
Em polígonos regulares circunscritos a uma circunferência, o comprimento do apótema (aₙ) e o raio (r) da circunferência inscrita são numericamente iguais. Para melhor compreensão vamos definir ambos os conceitos.
O apótema é o segmento que vai do centro da figura até o ponto médio de um lado, formando 90° com ele. Já o raio do incírculo é o segmento de reta que vai do centro do polígono até o ponto de tangência com um lado, formando 90° com ele.
Em um polígono regular, a simetria garante que o ponto de tangência do incírculo com um lado seja exatamente o ponto médio desse lado. Assim, o segmento de reta que é o raio, também seja o apótema. Tal segmento é muito importante, pois aparece em cálculos de área e em relações métricas.
Outro elemento é o lado do polígono (lₙ), que representa a medida de cada um dos lado do polígono de N lados iguais. Enquanto que, o raio da circunferência circunscrita (R) é a distância do centro do polígono até qualquer vértice, ou seja, o segmento de reta que conecta o centro a um dos vértices.
Esses elementos se relacionam diretamente, como ao observar metade de um lado do polígono, percebe-se que se forma um triângulo retângulo em que a hipotenusa é R, um cateto é o apótema r, e o outro cateto é lₙ/2. Essa relação geométrica é a base para diversas fórmulas envolvendo polígonos regulares, permitindo calcular lados, raios e áreas de forma mais prática.
Fórmulas e propriedades dos principais polígonos regulares circunscritos
Triângulo Equilátero
O triângulo circunscrito a uma circunferência está fora do círculo com seus três lados tangenciando a circunferência.
Sabendo que a altura de um triângulo equilátero é
o raio vai ser r = h/3. Substituindo vamos ter:
Lado: onde
l = lado do triângulo
r = raio da circunferência inscrita, que tem o mesmo valor do apótema.
Para um triângulo equilátero inscrito numa circunferência (o triângulo está dentro do círculo), temos que:
Lado (l): onde
o que nos leva a uma relação entre os raios
Onde R = 2r
Quadrado
O quadrado circunscrito tem seus lados tangentes à circunferência e o raio da circunferência inscrita é r. Ao analisar, observa-se que o lado do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência inscrita.
Sendo o diâmetro da circunferência: 2r. Logo: l₄ = 2r
Tendo que o quadrado inscrito:
e o quadrado circunscrito:
Calcula-se a relação entre r e R é:
Hexágono Regular
O hexágono regular possui uma propriedade única que é possuir o seu lado igual ao raio da circunferência circunscrita (l₆ = R).
Contudo, para encontrar o valor do lado a partir do raio da circunferência inscrita nele, utilizamos as seguintes relações:
A altura de um triângulo equilátero de lado l é
Neste caso, h = r e l = l₆. Isolando l₆:
ou
Vamos encontrar a relação para o mesmo hexágono (com o mesmo lado l₆). Do hexágono inscrito: l₆ = R (propriedade fundamental) e do hexágono circunscrito:
Substituindo l₆ por R na segunda equação:
Chega na relação
Perímetro e Área de Polígonos Regulares Circunscritos:
O perímetro de um polígono regular é bem tranquilo de calcular, basta multiplicar o número de lados N pelo comprimento de um lado ln, ou seja,
A área pode ser obtida a partir da ideia de dividir o polígono em triângulos isósceles, todos com altura igual ao apótema r. Assim, a fórmula geral é:
Atenção para alguns casos específicos em que podemos substituir ln em função do apótema r. Por exemplo:
- Para n=3 (triângulo equilátero),
- Para n=4 (quadrado),
- Para n=6 (hexágono regular),
Assim, a área do polígono regular pode ser expressa em função de r, simplificando cálculos em situações práticas.
Polígonos Inscritos X Polígonos Circunscritos
Ao tratar de polígonos regulares, podemos inscrevê-los em uma circunferência (todos os vértices sobre a circunferência) ou circunscrevê-los a uma circunferência (todos os lados tangentes à circunferência).
Nos dois casos, aparecem: o lado do polígono, o raio da circunferência circunscrita (R) e o apótema (a ou r), que é a distância do centro até os lados.
Existe uma relação direta entre esses dois casos. Dado um n-látero regular com circunferência circunscrita de raio R, o apótema do polígono inscrito é o mesmo que o raio da circunferência inscrita no polígono circunscrito.
Questões sobre polígonos circunscritos
PUC -PR (2016)
Um triângulo possui uma circunferência inscrita e outra circunscrita. Um dos lados do triângulo passa pelo centro da circunferência circunscrita e a soma das medidas dos outros lados é igual a s. Qual é a medida da soma dos comprimentos das duas circunferências?
A) πs/2
B) πs
C) 2πs/3
D) 2π
E) 3πs/2
Resposta
Precisamos encontrar os raios das duas circunferências para calcular a soma de seus comprimentos.
Diametro c=2R
Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo:
Sc=πs
Alternativa correta: B
Sc=πs
Alternativa correta: B
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