Um polinômio é uma expressão algébrica que consiste em variáveis, também chamadas de incógnitas, e coeficientes, organizados em termos de diferentes potências da variável. Cada termo de um polinômio é formado por um coeficiente (número real ou complexo) multiplicado pela variável elevada a um expoente inteiro não negativo.
Além de fornecerem resultados, as equações podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e divididas. Acompanhe mais sobre essa matéria nesse artigo!
Navegue pelo conteúdo
Definição e conceitos básicos dos polinômios
Um polinômio é uma expressão algébrica formada pela soma de termos, onde cada termo é o produto de um coeficiente e uma variável elevada a um expoente inteiro não negativo. A forma geral é, sendo o grau do polinômio, definido pelo maior expoente.
P(x)=an xn+ an-1 xn-1+…+ a2x²+a1x¹+a0
Confira um exemplo prático:
P(x)= 5x⁴+ 9x³+ 2x²+8x+4
Identifique os elementos de um polinômio: coeficientes, variáveis, termos e grau
- O coeficiente é o número que multiplica a variável, no exemplo acima são os números: 5,9,2,8 e 4;
- A variável geralmente é representada pela letra X, é o número que você quer encontrar;
- Os termos são todos os elementos que constituem o polinômio, no exemplo acima são: 5x⁴,9x³,2x²,8x e o 4. Lembrando que quando o número não apresenta a variável ele é chamado de termo independente de X; e
- O grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui, ou seja, o maior número que está elevado no x, no exemplo acima o polinômio é do 4⁰ grau.
+ 15 questões sobre função matemática que já caíram nos vestibulares
Classificação dos polinômios
Os polinômios são classificados de acordo com seu grau, número de variáveis e forma:
Grau de um polinômio
O grau do polinômio é importante tanto para definir a quantidade de raízes, como esboçar esse polinômio em um gráfico e sua classificação.
- Monômios: são aqueles que apresentam um termo, por exemplo: P(x)= 3x;
- Binômios: são aqueles polinômios que apresentam 2 termos, por exemplo: P(x)= 5x+1;
- Trinômios: são os polinômios que apresentam 3 termos, por exemplo: P(x)= 4x²+3x+2; e
- Polinômios: são os polinômios que apresentam 3 ou mais termos, por exemplo: P(x)= 5x⁴+2x²+3x+1.
Raízes de um polinômio
A definição de raiz é ilustrada da seguinte forma: um valor que, quando substituído na variável, torna o polinômio igual a zero.
Teorema do Resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b é igual ao valor numérico desse polinômio para x=-b/a , ou seja, P (-b/a)=R. Como, por exemplo:
O resto da divisão P(x)=x² +5x-1 por B(x)= x+1
Para achar a raiz, faça o seguinte cálculo: x+1=0 -> x=-1
Agora é só substituir o x por -1 para encontrarmos o resto: P(-1)= (-1)²+5(-1)-1= -5
Assim, o resto é -5
Teorema de D’Alembert
Todo polinômio P(x) quando dividido por um binômio do tipo x – a, resultará em uma divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero. Exemplo: (x²-5x+6) ÷ (x-3)= x-2 resto=0.
Imagem: produção própria
Relações de Girard
As Relações de Girard são um conjunto de fórmulas que relacionam as raízes de uma equação polinomial com os coeficientes dos termos do polinômio. Elas são úteis para calcular as raízes de equações polinomiais de grau maior ou igual a 2.
As Relações de Girard para equações polinomiais são:
Soma das raízes
A soma das raízes de uma equação polinomial de grau n é dada por soma= -b/a, onde:
- a é o coeficiente do termo de maior grau;
- b é o coeficiente do termo de grau n-1.
Produto das raízes
O produto das raízes de uma equação polinomial de grau n é dado por: produto=C/a, onde:
- a é o coeficiente do termo de maior grau; e
- c é o coeficiente do termo independente.
Confira um exemplo prático: P(x)= 5x³+ 2x² + 3x+ 1:
- Soma= -⅖;
- Produto=⅗;
Relações de Girard para equações de Segundo Grau
Considerando ax²+bx+c=0, se as raizes r1 e r2 forem as suas raizes:
- R1+r2= -b/a;
- R1.r2=c/a;
Relações de Girard para equações de Terceiro Grau
Considerando ax³+bx²+cx+d=0, se as raízes forem r1, r2 e r3, temos:
- R1+r2+r3=-b/a;
- R1.r2+r1.r3+r2.r3=c/a;
- R1.r2.r3=-d/a
Relações de Girard para equações de Quarto Grau
Considerando ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0, se as raízes forem r1, r2, r3 e r4 temos:
- R1+r2+r3+r4=-b/a
- R1.r2+r1.r3+r1.r4+r2.r3+r2.r4+r3.r4=c/a
- R1.r2.r3+r1.r2.r4+r1.r3.r4+r2.r3.r4=-d/a
- R1.r2.r3.r4=e/a
O número de raízes que configura um polinômio de grau “n” possui no máximo “n” raízes complexas.
Multiplicidade de raízes
Confira, abaixo, a definição das raízes, quando elas apresentam algum tipo de multiplicidade:
- Se equação tiver uma única raiz, ela será chamada de raiz simples;
- Se as raízes forem duas e iguais, dizemos que a raiz tem multiplicidade 2 será chamada de raiz dupla;
- Se as raízes forem três e iguais, dizemos que a raiz tem multiplicidade 3 será chamada de raiz tripla; e
- Se as raízes forem quatro e iguais, dizemos que a raiz tem multiplicidade 4 será chamada de raiz quadrúpla, e assim por diante.
Identificando a multiplicidade
Dado o polinômio P(x) = (x – 1)(x – 1)(x + 2)(x + 2)(x -3)(x – 3)(x – 3), expresse a multiplicidade das raízes.
Resposta:
A raiz 1 e a -2 são raízes duplas, pois elas aparecem duas vezes, logo, a multiplicidade de cada uma é 2. Já a raiz 3 é considerada tripla, pois ela aparece três vezes na equação apresentada.
A principal dica que auxilia na resolução dos problemas que envolvem a multiplicidade de raízes é igualar cada parênteses a 0, formando novos resultados, que serão as raízes. Posteriormente, separe as raízes iguais e conte quantas foram formadas, dessa forma, será possível identificar a multiplicidade de cada raiz.
Fatoração dos polinômios
Para decompor o polinômio em fatores, deve-se observar a potência de cada fator (x-r) das equações.
Para fatorar deve-se identificar se há algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem. Posteriormente, deve-se colocar os fatores comuns (números e letras) em evidência. Por fim, deve-se colocar nos parênteses o resultado de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. Por exemplo:
- Fatore o polinômio 12x-6y-9z;
- Observa-se que, no caso apresentado, todos são divisíveis por 3, assim, 3(4x-2y-3z).
Divisões sucessivas nas fatorações dos polinômios
Para realizar divisões sucessivas nos polinômios é necessário dividir cada polinômio por (x-r) diversas vezes, até que a divisão não seja mais exata, ou seja, não apresente uma divisão possível.
Interpretação gráfica
A multiplicidade influencia o comportamento do gráfico do polinômio nas proximidades da raiz. Uma multiplicidade ímpar formará um gráfico que cruza o eixo x na raiz. Já uma multiplicidade par, faz com que o gráfico toque o eixo x na raiz, sem cruzá-lo.
Questões sobre polinômios
Unicamp (2023)
A) [-3,5,-1] Alternativa C
B) [1,3]
C) [3,5,5]
D) [5,6] Resposta:
Estude com o Estratégia Vestibulares
No curso preparatório da Coruja, você poderá aprender com profundidade as matérias das ciências exatas, um ponto de grande interesse para os vestibulandos. Além disso, o Estratégia fornece aulas, simulados e trilhas estratégicas que te ajudam na programação e avaliação do conhecimento em todas as disciplinas mais importantes para todos os vestibulares nacionais. Quer saber mais? clique no banner abaixo:
