A geometria plana é uma das áreas que estuda as figuras planas, iniciando-se nos conceitos de ponto, reta e plano, e, com isso, aprofundando até a construção das figuras planas, com o cálculo de suas respectivas áreas e perímetros.
Dentro das retas é importante a compreensão sobre as posições relativas entre elas, além disso, a percepção da formação de um plano e, consequentemente, o cálculo de áreas.
As posições entre retas são importantes tanto no dia a dia, como cruzamento de ruas, quanto nas provas de vestibulares, seja em exercícios de somente analisar as imagens, ou nas questões que pedem para definir onde uma reta encontra uma circunferência por meio de cálculos.
As retas podem ser classificadas como paralelas, concorrentes ou coincidentes e saber as diferenças entre essas classificações é fundamental para sua prova.
Mas antes de aprofundar nesse assunto é importante que conceitos básicos, como o que é uma reta ou a definição de um plano, estejam bem consolidados para você.
Entenda um pouco mais sobre a diferença das posições relativas entre retas e suas principais características. Ao final, treine sua compreensão com questões relacionadas ao assunto.
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Conceitos básicos
Primeiramente, revise abaixo alguns conceitos básicos da geometria plana:
Reta
A reta é caracterizada como união de pontos, ou seja, para criar uma reta é necessário no mínimo 2 pontos e dado esses 2 pontos basta uni-los.
Segmento de reta
O segmento de reta é caracterizado como um fragmento de reta que inclui os pontos originais da reta. Após identificar os 2 pontos originários basta cortar antes do primeiro ponto posteriormente ao segundo ponto e obterá um segmento de reta.
Semirreta
A semirreta é caracterizada como uma parte da reta, ou seja, primeiramente uma reta é criada e, posteriormente, a partir de um ponto, a reta é fragmentada.
Em outras palavras, após você criar a reta, você escolhe um ponto originário dessa reta e apaga ora antes dele, se for o primeiro ponto, ora depois dele, se for o segundo ponto.
Ângulo
O ângulo é formado pela união de duas semirretas, com um espaço entre elas, a partir de um ponto em comum, vértice, podem ser medidos, indo de 0º a 360º, e são classificados como:
- Agudo: quando o ângulo mede entre 0º e 90º
- Reto: quando o ângulo mede exatamente 90º
- Obtuso: quando o ângulo mede entre 90º e 180º
- Raso: quando o ângulo mede exatamente 180º,
- Nulo: quando o ângulo mede exatamente 0º.
Além disso, os ângulos complementares são aqueles que a soma resulta em 90º e os ângulos suplementares são aqueles que a soma resulta em 180º.
Plano
O plano pode ser definido de diferentes formas, dentre elas, 3 pontos não colineares, ou duas retas concorrentes contidas no mesmo plano, ou duas retas paralelas contidas no plano.
Para melhor compreensão segue abaixo a imagem das diversas formas de definir o plano.
Imagem: autoria própria
Posições relativas entre duas retas
As posições relativas entre duas retas são entendidas como as formas como essas retas podem interagir no plano, seja entre elas ou seja entre elas e um ponto.
Retas concorrentes
Retas concorrentes são caracterizadas por apresentarem ângulos entre elas. Quando apresenta um ângulo qualquer são chamadas apenas de concorrente, quando o ângulo é de 90º são chamadas de perpendiculares.
Além disso, as retas concorrentes apresentam a característica de possuir ângulos opostos pelo vértice, veja na imagem abaixo como eles são posicionados visualmente.
Imagem: autoria própria
Como, por exemplo, o cruzamento entre duas ruas, forma o que consideramos retas perpendiculares.
Retas paralelas
Retas paralelas são caracterizadas por duas retas que nunca irão se cruzar por estarem uma ao lado da outra.
Uma característica importante das retas paralelas é a presença dos ângulos alternos internos, como na imagem abaixo.
Imagem: autoria própria
Dica: sempre que ver o Z os ângulos são alternos internos e, consequentemente, iguais. Como por exemplo,duas ruas que são paralelas, apesar delas apresentarem ruas que as cruzam, as ruas paralelas nunca se cruzam.
Retas coincidentes
Retas coincidentes é uma subclassificação das retas paralelas e são caracterizadas pela sobreposição das retas, uma reta fica sobre a outra. Dessa forma, a equação de ambas as retas são iguais.
Abaixo temos uma imagem caracterizando melhor cada classificação das retas.
Aplicações da geometria plana no cotidiano
Construções geométricas
Uma aplicação de retas para a construção geométrica é quando, por exemplo, há a formação de triângulos a partir da equação das retas formadoras desse triângulo.
Na imagem abaixo, temos a equação da reta r (2x-3y+9=0), com isso conseguimos descobrir a equação da reta S e por fim encontrar a área do triângulo.
Imagem: autoria própria
Cálculo de ângulos
Um fato curioso utilizando ângulos, foi quando Eratóstenes, há cerca de 2100 anos, calculou a circunferência da Terra.
Eratóstenes observou que no solstício de verão, na cidade de Siena, ao meio-dia, o Sol ficava quase perpendicular, mas, em Alexandria, na mesma data e hora, isso não acontecia.
Então ele concluiu que a Terra é redonda, pois se fosse plana, as sombras de duas varetas deveriam ser idênticas. Com isso, ele calculou que o ângulo de distância entre as duas cidades deveria ser de 7,2°.
Dividindo o valor de uma volta completa ,360°, por 7,2°, ele descobriu que o arco que separa as cidades vale 50. Eratóstenes sabia que a distância em linha reta entre as duas cidades é de cerca de 800 km. Ao multiplicar 800 por 50, ele concluiu que a circunferência da Terra seria de cerca de 40 mil km, com a tecnologia atual a distância calculada foi de 40.075 Km.
Exercício de posições relativas de retas
UFSM (2020)
As retas r e s da figura a seguir são paralelas.
É correto afirmar que a medida, em graus, de x+y é
a)100
b)120
c)130
d)140
e)180
Resposta
Alternativa B
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