A potência de ponto em relação a uma circunferência é um conceito da geometria muito útil para o Enem e vestibulares. Apesar do nome aparentemente complexo, a potência de ponto é, basicamente, uma ferramenta que permite relacionar um ponto e uma circunferência, sendo importante para realização de problemas envolvendo secantes, tangentes e segmentos.
Este artigo irá te guiar por esse conceito, explicando desde as definições básicas até aplicações práticas em questões de prova. Leia-o até o final para aprender tudo sobre potência de ponto e mandar bem nas questões! Vamos lá?
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O que é potência de ponto?
Imagine uma circunferência e um ponto P qualquer, que pode estar dentro, fora ou sobre a circunferência em questão. Ao traçarmos uma reta intersectando a circunferência e passando por P, segmentos serão formados. Nesse sentido, a potência de ponto correlaciona os comprimentos desses segmentos formados.
Teorema da potência de ponto
A potência de ponto depende da posição do ponto em relação à circunferência. Assim, as relações utilizadas serão distintas em cada caso, de acordo com a localização do ponto, da seguinte maneira:
Ponto interno à circunferência
Nesse caso, há duas cordas que se interceptam (se cruzam), dividindo-se em 4 segmentos de reta (a, b, c e d), conforme mostrado na figura abaixo:
Nesse contexto, os comprimentos de a, b, c e d podem ser correlacionados, utilizando-se o Teorema das Cordas. Segundo esse teorema, sempre que duas cordas de uma mesma circunferência se cruzam em um ponto, o produto dos comprimentos dos dois segmentos de uma corda é igual ao produto dos comprimentos dos dois segmentos da outra corda.
Essa afirmação pode, portanto, ser traduzida através da seguinte fórmula:
a . b = c . d
Ponto externo à circunferência (intersecção de duas secantes)
Retas secantes são aquelas que cruzam a circunferência em dois pontos distintos. Dessa forma, iremos traçar duas retas secantes que se cruzam em um ponto externo à circunferência, conforme a imagem abaixo:
Nessa situação, também são formados quatro segmentos (a, b, c e d), sendo a e c localizados no exterior da circunferência, enquanto b e d estão no interior da circunferência.
Nesse sentido, para os casos em que duas secantes se cruzam no exterior da circunferência, temos uma relação em que o produto do comprimento de uma secante pela medida da sua porção externa é igual ao produto do comprimento da outra secante pela medida da sua porção externa. Essa definição resulta na seguinte fórmula:
a . (a + b) = c . (c + d)
Veja também:
+Geometria: o que é e como é classificada
Ponto externo à circunferência (intersecção de uma secante e uma tangente)
Como foi dito anteriormente, retas secantes são aquelas que cruzam a circunferência em dois pontos distintos. Já as tangentes, cruzam a circunferência em apenas um ponto. Dessa maneira, iremos traçar um secante e uma tangente que se cruzam em um ponto externo à circunferência, conforme a imagem abaixo:
Nessa situação, também são formados três segmentos (a, b e c), sendo a e c localizados no exterior da circunferência, enquanto b está no interior da circunferência.
Nesse sentido, para os casos em que uma secante e uma tangente se cruzam no exterior da circunferência, temos uma relação em que o produto do comprimento da secante pela medida da sua porção externa é igual ao quadrado do comprimento da tangente. Essa definição resulta na seguinte fórmula:
a . (a + b) = c2
Exercícios de exemplo
Ponto interior
Dentro de uma circunferência, duas cordas AB e CD se cruzam no ponto P.
- Na corda AB, os segmentos são AP=3 cm e PB=5 cm.
- Na corda CD, um segmento é CP=2 cm e o outro PD é desconhecido.
Use o teorema para encontrar PD.
Resolução
Dados:
- Corda AB: AP=3 cm, PB=5 cm
- Corda CD: CP=2 cm, PD=?
Teorema (cordas que se cruzam):
AP⋅PB = CP⋅PD
Cálculo:
3⋅5 = 2⋅PD
15 = 2⋅PD
PD = 15/2
PD = 7,5 cm
Ponto externo (duas secantes)
De um ponto Q fora de uma circunferência, traçam-se duas secantes:
- QAB, com QA=3 cm e AB=5 cm.
- QCD, QC=2 cm e QD desconhecido.
Sabendo que QA×QB = QC×QD, determine o valor de QD.
Resolução
Dados:
- Secante QAB: QA = 3cm e AB = 5cm ⇒ QB = QA+AB = 3+5 = 8cm
- Secante QCD: QC = 2 cm e QD = ?
Teorema (duas secantes):
QA⋅QB = QC⋅QD
Cálculo:
3⋅8 = 2⋅QD
24 = 2⋅QD
QD = 24/2
QD = 12 cm
Ponto exterior (secante e tangente)
De um ponto P fora de uma circunferência, traçam-se:
Uma tangente PT e uma secante PAB que intersecta a circunferência em A e B. Sendo PT = 6 cm e PA=4 cm, calcule PB.
Resolução
Dados:
Tangente PT=6 cm
Secante PAB com PA=4 cm
PB = ?
Teorema (secante–tangente):
PA⋅PB=PT2
Cálculo:
4⋅PB=62
4⋅PB = 36
PB = 36/4
PB=9 cm
Erros comuns
É importante ficar atento a alguns deslizes frequentes:
- Usar a fórmula errada para a posição do ponto: lembrar que pontos localizados no interior da circunferência têm fórmulas distintas das situações em que o ponto encontra-se no exterior da circunferência;
- Identificação incorreta dos segmentos: confundir quais segmentos multiplicar é um erro clássico;
- Descuidos algébricos: mesmo com a fórmula correta, erros de cálculo podem atrapalhar; e
- Não perceber que o teorema se aplica: muitas vezes, o problema pode ser resolvido de forma rápida pela potência de ponto, mas o estudante tenta caminhos mais longos.
Questão de vestibular sobre potência de ponto
Unesp (2014)
Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferência e as cordas AC e BD. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de x.
Resolução
Utilizando a fórmula da potência de ponto para um ponto interno à circunferência, temos:
EA . EC = EB . ED
2x . (x + 3) = x . (3𝑥 − 1)
2x2 + 6x = 3x2 − x
x2 − 7x = 0
x . (x − 7) = 0
x = 0 (não convém) ou x − 7 = 0 ⇒ x = 7
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