A matemática é uma ciência interdisciplinar, que aparece como base para a compreensão de diferentes teorias em outras matérias, como física, química, biologia, entre outras. Por isso, conhecer os fundamentos e cálculos essenciais, aprender problemas de 1º e 2º grau possui um valor especial tanto para o estudo pré-vestibular, como para formação cidadã e profissional.
Neste texto, são apresentadas formas de interpretar, reconhecer e resolver problemas que podem ser resolvidos com equações de primeiro e segundo grau. As explicações serão baseadas em questões de vestibulares. Observe, ainda, que os temas abordados podem aparecer no cotidiano, seja na vida financeira, seja para construção de receitas culinárias, por isso vale a pena compreendê-lo a fundo. Vamos lá?
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Definição: equações de 1º e 2º grau
O primeiro passo para desenvolver problemas de 1º e 2º grau corretamente é conhecer bem as equações matemáticas que embasam essas resoluções: equação de primeiro grau e equação de segundo grau.
Nos cálculos, o grau de uma expressão algébrica é dado pelo maior expoente presente na incógnita. Lembre-se que incógnita é o nome matemático para um valor desconhecido dentro da conta, representado por uma letra (x, por exemplo).
Inclusive, o grau da equação determina o número de possíveis respostas, então uma equação de 1º grau tem somente um valor que substitui x e torna a conta verdadeira. No caso de equações de 2º grau, serão dois valores de x; 3º grau, três soluções e assim sucessivamente.
Equação do 1º grau
Conforme a definição acima apresentada, uma equação de primeiro grau possui, obrigatoriamente, ao menos uma incógnita x elevada ao grau 1. A partir disso, foi criada uma estrutura básica para esse tipo de expressão:
ax + b = 0
a ∊ IR, a ≠ 0
b ∊ IR
Exemplos:
- 15x + 12 = 0 (a = 15, b=12)
- -3x + 15 = 0 (a=-3, b=15)
- 27x = 0 (a=27, b=0)
Por vezes, para chegar a essa estrutura em que o valor zero fica apenas em um lado da expressão algébrica, é necessário manipular as contas, por meio de jogos de sinais. Como no exemplo abaixo:
6x + 14 = 13x
(ao trocar o “13x” de lado, inverte-se o sinal de positivo para negativo)
6x – 13x + 14 = 0
– 7x + 14 = 0
Resolução equação do 1º grau
A resolução de equações, em matemática, consiste em isolar a incógnita para que o valor dela esteja delimitado na própria expressão. No caso das equações de primeiro grau, a ideia é manipular a equação por meio das propriedades da soma, subtração, multiplicação, divisão, principalmente.
Ao trocar um termo de lado dentro da equação, a operação deve ser alterada para sua operação inversa, de forma que:
- Multiplicação e divisão são inversas entre si; e
- Soma e subtração são diretamente inversas.
Então, basta fazer os cálculos de maneira a isolar o x em um só lado da equação, deixando as incógnitas o mais juntas quanto possível, como está demonstrado abaixo:
12x + 8x + 40 = 30x + 10
(o primeiro passo será manter todos os termos com incógnitas em um só lado da expressão)
12x + 8x + 40 – 30x = 10
(agora, é importante unir todos os valores independentes, sem incógnita)
12x + 8x – 30x = 10 – 40
(seguimos com a junção das incógnitas, por meio da subtração e subtração)
-10x = 10 – 40
(agora, unem-se os termos independentes, do lado direito)
-10x = -30
(uma vez que ambos os lados da equação estão negativos, multiplicando tudo por -1, a equação ficará positiva)
-10x.-1 = -30.-1 ⇒ 10x = 30
(agora, como o coeficiente a=10 está multiplicando a incógnita, ele atuará dividindo o 30, do outro lado da expressão)
10.x = 30
x = 30/10
x = 3
Equação do 2º grau
Uma equação do segundo grau possui, conforme a definição matemática, pelo menos uma incógnita elevada ao expoente 2, e esse é o maior expoente da incógnita na expressão apresentada. Então, a estrutura básica será:
ax2 + bx + c = 0
a ∊ IR, a ≠ 0
b ∊ IR
c ∊ IR
Exemplos:
- 5x2 + 12x + 8 = 0 (a=5, b=12, c=8)
- -6x2 + 15 = 0 (a=-6, b=0, c=15)
- 3x2 – 13x + 14 = 0 (a=3, b=-13, c=14)
Resolução equação do 2º grau
A resolução de equações de 2º grau também segue o padrão de inversão das operações, entretanto, como o expoente da incógnita é quadrado, incluem-se propriedades de exponenciação e potenciação. Diante disso, existem duas fórmulas principais que podem ser aplicadas nos cálculos para resolução:
- Bhaskara:
ou; - Soma e produto:
ou;
Para a equação x2 + 3x + 2 = 0, por meio da fórmula de Bhaskara:
Já por meio das fórmulas de soma e produto:
Resolução de problemas de 1º e 2º grau
Problemas de 1º grau
Enem (2020)
Provedores de conteúdos postam anúncios de empresas em seus websites. O provedor A cobra R$ 0,10 por clique feito no anúncio, além do pagamento de uma taxa de contratação de R$ 50,00. O provedor B cobra uma taxa de contratação por anúncio mais atrativa, no valor de R$ 20,00, mais um valor por clique feito no anúncio. Para um anúncio que receberá 100 cliques, o provedor B fixará uma proposta com um valor a ser cobrado por clique, de modo que venha a receber, pelo menos, o mesmo total que receberia o provedor A.
O gerente do provedor B deve avaliar os valores por clique a serem fixados.
O valor mínimo que o gerente do provedor B deverá escolher é
A) R$ 0,11
B) R$ 0,14
C) R$ 0,30
D) R$ 0,40
E) R$ 0,41
O primeiro passo é reconhecer a equação que representa o valor recebido pelos provedores. Leva-se em conta que o provedor possui um valor fixo já recebido, que é a taxa de contratação. Depois,o valor varia conforme o número de cliques, então, quanto mais cliques, mais ganho — a melhor forma de representar isso será:
nº de cliques.valor do clique + taxa de contração
Considerando que o número de cliques = n e o valor do clique no provedor B = b, então será:
Provedor A: n.0,10 + 50
Provedor B: n.b + 20
O enunciado pede a equivalência de recebimento entre os provedores, ou seja, para o mesmo número de cliques, a mesma lucratividade. Diante disso, o problema nos fornece um número base de cliques, n=100.
Em matemática, equivalência de valores significa igualdade entre expressões. Então a resolução será:
n.0,10 + 50 = n.b + 20
100.0,10 + 50 = 100.b + 20
10 + 50 = 100.b + 20
60 – 20 = 100.b
40 = 100.b
40/100 =b
0,40 = b
Alternativa correta: D.
Problema de 2º grau
Em certa página de um livro foi anotada uma senha. Para se descobrir qual é a página, dispõe-se da informação de que a soma dos quadrados dos três números correspondentes à página da senha, à página anterior e à posterior é igual a um certo número k que será informado posteriormente.
Denotando por n o número da página da senha, qual é a expressão que relaciona n e k?
A) 3n² − 4n = k − 2
B) 3n² + 4n = k − 2
C) 3n² = k + 2
D) 3n² = k − 2
E) 3n² = k
Ao analisar esse exercício, observe que o objetivo é montar uma equação quadrática que responde ao enunciado. O primeiro passo é interpretar corretamente a senha descrita no texto: a soma dos quadrados dos três números correspondentes à página da senha, à página anterior e à posterior é igual a um certo número k.
Depois, é necessário utilizar uma técnica importante para cálculos com números consecutivos desconhecidos: sempre que eles aparecem em número ímpar, facilita os cálculos considerar o número principal como n, o anterior como n-1 e o posterior como n+1. Nesse exercício, a expressão algébrica será, então:
(𝑛−1)² + 𝑛² + (𝑛+1)² = 𝑘
Então, a partir do conhecimento de produtos notáveis, o cálculo pode ser distribuído assim:
𝑛² − 2𝑛 + 1 + 𝑛² + 𝑛² + 2𝑛 + 1 = 𝑘
Em seguida, faz-se a soma e subtração de termos semelhantes:
3𝑛² + 2 = 𝑘
Note que as alternativas não fornecem nem um cálculo com esse formato, pois é necessário passar o termo independente para ficar junto à incógnita k:
3𝑛² = 𝑘 – 2
Alternativa correta: D.
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