Teorema fundamental da álgebra: o que ele diz?

Você certamente já ouviu falar sobre a Álgebra. Você sabe o que é? Sabe calcular? Saiba que esse é um assunto recorrente em provas de vestibular. Por isso, criamos esse artigo para tirar algumas dúvidas sobre o tema. Mas, o que diz o Teorema Fundamental da Álgebra?

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Álgebra

Há vários enunciados possíveis para o teorema da Álgebra, sendo que um dos mais claros é: “Todo polinômio não constante de grau n possui n raízes complexas, não necessariamente todas distintas”.

O que significa o teorema fundamental da álgebra?

Alguns lembretes que facilitarão o entendimento e revelarão a importância desse teorema:

Polinômios são expressões da forma:

\dpi{150} \large P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}

Em que n é o grau do polinômio, $\dpi{150} \large a_{i}$ para i indo de 0 até n, são os coeficientes do polinômio, reais ou complexos, e x é a variável. Um número k é chamado de raiz de um polinômio $\dpi{150} \large P(x)$ se satisfaz $\dpi{150} \large P(k)=0$ .

Assim, o que esse teorema afirma é que para um polinômio com quaisquer coeficientes, reais ou complexos, o número de raízes sempre será igual ao seu grau.

Observação

Tomando de exemplo o polinômio $\dpi{150} \large P(x)=x^{2}-2x+1$ . Segundo o teorema, o número de raízes desse polinômio deve ser 2, pois seu grau é 2. Entretanto, apenas $\dpi{150} \large x=1$ é raiz, mesmo considerando que x pode ser complexo.

Nesse caso, é dito que $\dpi{150} \large P(x)$ possui duas raízes iguais ou uma raiz com multiplicidade 2. Isso pode parecer estranho, mas a justificativa para essa definição envolve conceitos topológicos de espaços complexos e análise de funções complexas, conteúdos que fogem completamente do escopo de qualquer vestibular.

Como cai Álgebra na prova?

Na prática, o teorema da Álgebra aparece de forma indireta em quaisquer questões referentes a polinômios. Pois traz de maneira rápida a informação do número de raízes do polinômio apenas olhando seu grau. Abaixo, entretanto, está uma questão em que o uso do teorema poderia fornecer uma solução mais rápida:

Questão ITA 2017

Considere a equação $\dpi{150} \large (a-bi)^{501}=\frac{2(a+bi)}{(a^{2}+b^{2})^{250}+1}$

O número de pares ordenados $\dpi{150} \large (a, b)\in \mathbb{R}^{2}$ que satisfazem a equação é:

Resolução

Inicialmente, utilizando algumas ideias de números complexos, podemos fazer $\dpi{150} \large z=a-bi$ . Sendo assim, $\dpi{150} \large a+bi=\bar{z}$ e $\dpi{150} \large a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$ . Assim, pedir os pares de reais (a, b) é equivalente a pedir os complexos z que satisfazem a equação, que se torna:

$\dpi{150} \large z^{501}=\frac{2\bar{z}}{|z|^{500}+1}$

A seguir, podemos multiplicar a equação de ambos os lados por z, caso $\dpi{150} \large z\neq 0$ . Entretanto, notamos facilmente que $\dpi{150} \large z= 0$ é solução da equação. Desse modo, o número total de soluções será o número de soluções da equação gerada por essa multiplicação mais a solução $\dpi{150} \large z= 0$ .

Analisando a equação obtida:

$\dpi{150} \large z^{501}z=\frac{2\bar{z}z}{|z|^{500}+1}\rightarrow z^{502}=\frac{2|z|^{2}}{|z|^{500}+1}$ , lembrando que $\dpi{150} \large z\bar{z}=|z|^{2}$ .

Mas note que a expressão do lado direito da equação é um número real e, como retiramos a possibilidade de z ser nulo, esse número real com certeza não é zero. Assim, fazendo $\dpi{150} \large \frac{2|z|^{2}}{|z|^{500}+1}=a$ , a equação se torna:

$\dpi{150} \large z^{502}=a\rightarrow z^{502}-a=0$ . Pelo teorema fundamental da álgebra, sabemos que o polinômio $\dpi{150} \large P(z)=z^{502}-a$ possui 502 raízes. Então, a equação obtida possui 502 soluções. Considerando o zero, que havia sido desconsiderado inicialmente, chegamos ao total de 503 soluções, que é a resposta final.

Curiosidades

A demonstração do teorema fundamental da álgebra é de difícil entendimento, envolvendo conceitos relacionados à topologia de espaços complexos, cálculo e análise de funções em variáveis complexas, e foge do escopo de qualquer vestibular.

Ao longo da história, diversos matemáticos tentaram demonstrar esse teorema. A primeira aparição registada de qualquer menção à ideia desse resultado ocorreu em 1608, no livro “Arithmetica Philosofica” de Peter Rothe.

Contudo, o primeiro manual universitário a conter a demonstração formal desse teorema só foi publicado em 1821, pelo matemático francês Augustin- Louis Cauchy.

Ao longo dos mais de 200 anos entre essas datas, diversos matemáticos tentaram demonstrar esse teorema, dos quais os mais conhecidos são d’Alembert (1746), Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), Laplace (1795) e até mesmo Gauss (1799).

Contudo, todos esses matemáticos apresentaram demonstrações falhas para o teorema.

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