A lúnula é uma região em formato de lua crescente, formada pela interseção de duas circunferências. É uma figura geométrica que une os conhecimentos sobre setores, segmentos e triângulos para descobrir sua área.
Essa região curvilínea que aparece em diversas construções geométricas, especialmente quando se combinam arcos de diferentes raios. Seu estudo permite compreender como calcular regiões limitadas por arcos de circunferência.
Neste texto, você vai entender o que é uma lúnula, como ela se forma e aprender passo a passo a calcular sua área, com destaque para o famoso exemplo das Lúnulas de Hipócrates. Acompanhe abaixo.
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Conceito de Lúnula
Em termos geométricos, uma lúnula é uma região plana limitada por dois arcos de circunferência que se intersectam em dois pontos. Esses arcos pertencem a circunferências diferentes e, por isso, a lúnula representa a área “entre” eles.
Na figura acima, a circunferência maior tem centro em C e raio R, enquanto a menor tem centro em A e raio r, com R > r. A lúnula corresponde à região delimitada pelos arcos dessas circunferências entre os pontos E e D.
Visualmente, o formato de uma lúnula lembra uma lua crescente. Ela aparece sempre que duas circunferências se sobrepõem parcialmente, criando uma região curvada e assimétrica.
Estratégia para calcular a área da lúnula
Não existe uma fórmula universal para a área de qualquer lúnula. Isso acontece porque a forma e as dimensões da lúnula dependem da relação entre os raios das circunferências envolvidas e da posição dos arcos.
A estratégia mais eficiente é decompor a lúnula em figuras cujas áreas já sabemos calcular, como setores circulares, segmentos circulares e triângulos. Em geral, o raciocínio segue o padrão:
Área da Lúnula = (Área da figura 1) – (Área da figura 2)
Essas figuras podem ser setores ou segmentos circulares relacionados à circunferência maior e à menor. Em outras palavras, a área da lúnula é obtida pela diferença entre áreas conhecidas, assim é de extrema importância identificar corretamente quais figuras compõem a região desejada.
Cálculo da área em configurações comuns de lúnulas
Existem duas conformações principais de formação da lúnulas: as formadas por um semicírculo e um segmento circular e a formada pela diferença entre dois segmentos circulares.
Lúnula formada por um semicírculo e um segmento circular
Imagine uma circunferência maior e, dentro dela, uma circunferência menor cujo diâmetro coincide com uma corda da maior. O arco da menor forma um semicírculo, e o arco da maior forma um segmento circular sobre a mesma corda.
Perceba que o segmento FH é o diâmetro da circunferência menor e uma corda da circunferência maior. A lúnula é a área entre esses dois arcos. Para calcular sua área, fazemos:
Área da Lúnula = Área do semicírculo – Área do segmento circular
Nesse caso, o cuidado maior é identificar o ângulo central correspondente ao segmento circular da circunferência maior, pois ele determinará a área do setor e, consequentemente, do segmento.
Lúnula formada pela diferença de dois segmentos circulares
Outra configuração comum ocorre quando duas circunferências têm a mesma corda, mas raios diferentes. Cada circunferência define um segmento circular, e a lúnula é simplesmente a diferença entre esses dois segmentos.
O cálculo, novamente, segue a lógica de decomposição: subtrair o segmento menor do maior, ajustando os ângulos centrais de cada circunferência.
As lúnulas de Hipócrates
Um dos problemas mais fascinantes da geometria clássica envolve as chamadas Lúnulas de Hipócrates, descobertas por Hipócrates de Quíos, cerca de 400 a.C., muito antes de o famoso Hipócrates da medicina nascer.
O problema parte de um triângulo retângulo ABC. Sobre os catetos AB e AC, desenham-se semicírculos, d e e, respectivamente, tendo esses lados como diâmetros. Depois, constrói-se um semicírculo maior f sobre a hipotenusa BC, do mesmo lado dos catetos.
As regiões entre os semicírculos dos catetos e o semicírculo da hipotenusa são as lúnulas de Hipócrates. O resultado notável é que a soma das áreas dessas duas lúnulas é exatamente igual à área do triângulo retângulo ABC:
Esse resultado surpreendente é uma das primeiras demonstrações conhecidas de um raciocínio geométrico envolvendo figuras curvilíneas e o Teorema de Pitágoras.
A demonstração parte da relação entre a área de um semicírculo e o quadrado de seu diâmetro. Como a área de um círculo é proporcional ao quadrado do raio (ou do diâmetro), temos que:
Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (a² = b² + c²). Como a área de um semicírculo é proporcional ao quadrado do seu diâmetro, os semicírculos sobre os catetos juntos têm a mesma área que o semicírculo sobre a hipotenusa.
Portanto, ao subtrair as áreas dos semicírculos menores (sobre os catetos) da área do semicírculo maior (sobre a hipotenusa), a diferença corresponde exatamente à área do triângulo retângulo, explicando por que a soma das duas lúnulas equivale à área do triângulo.
Resolução de problemas envolvendo áreas de lúnulas
Problemas com lúnulas exigem que o estudante:
- Identifique as circunferências envolvidas, seus raios e as cordas comuns;
- Determine os ângulos centrais para calcular áreas de setores e segmentos; e
- Aplique corretamente o Teorema de Pitágoras, quando a figura estiver associada a triângulos retângulos.
Em alguns casos, a resolução envolve decompor a figura em partes sobrepostas e somar ou subtrair áreas conhecidas, como triângulos, setores e segmentos.
Outros problemas exploram diretamente a propriedade das Lúnulas de Hipócrates, pedindo, por exemplo, que se prove a igualdade entre áreas ou que se determine uma medida desconhecida a partir dessa relação.
Assim antes de resolver questões envolvendo lúnulas, é essencial dominar três tópicos fundamentais:
Área do Setor Circular:
ou, em radianos,
Área do Segmento Circular:
Onde: o triângulo é formado pelos raios e pela corda correspondente.
Área de Triângulos:
Fórmula básica
Fórmula trigonométrica:
Auxílio frequente do Teorema de Pitágoras:
Erros comuns e como evitá-los
Ao resolver questões envolvendo lúnulas, alguns equívocos são frequentes e podem comprometer o resultado final, por isso, é importante prestar atenção aos seguintes pontos:
- Tentar aplicar uma única fórmula para qualquer lúnula: cada configuração é única e exige análise;
- Errar na decomposição da figura: é essencial visualizar claramente quais setores ou segmentos formam a lúnula;
- Confundir os arcos e cordas envolvidos: um pequeno erro na identificação pode alterar completamente o resultado; e
- Esquecer de converter ângulos em radianos quando necessário: erro clássico em cálculos envolvendo setores circulares.
Questão do vestibular sobre lúnulas
Instituto Militar de Engenharia (IME) 2011
Seja o triângulo retângulo ABC com os catetos medindo 3 cm e 4 cm. Os diâmetros dos três semicírculos, traçados na figura abaixo, coincidem com os lados do triângulo ABC.
A soma das áreas hachuradas, em cm², é:
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
Resposta:
O triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶 possui catetos de 3 𝑐𝑚 e 4 𝑐𝑚, então, a hipotenusa é igual a 5 𝑐𝑚.
De acordo com a figura a área do Triângulo retângulo (S1) é:
Pela teoria da Lúnula de Hipócrates poderíamos já confirmar que a área hachurada vale 6. Mas para confirmar a Teoria da Lúnula de Hipócrates podemos fazer:
Área do semicírculo maior:
Área do semicírculo do cateto menor:
Área do semicírculo do cateto maior:
Logo a soma das áreas das lúnulas ( hachurada) será:
Logo é igual a área do triângulo retângulo, confirmando o teorema das lúnulas de Hipócrates.
Alternativa correta: A
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