Um dos tópicos mais importantes de Geometria Plana, e que mais aparece no Enem e nos vestibulares, é a área de figuras planas. Exige além da compreensão do tema, entender como aplicá-lo, e muitas vezes, combiná-lo e deduzi-lo.
Ele é aplicado ao cotidiano quando vamos delimitar espaços, verificar extensões territoriais, determinar densidade populacional nos municípios. Veja no artigo do Estratégia Vestibulares mais detalhes sobre o assunto.
Navegue pelo conteúdo
O que é a área
De maneira mais direta, a área é a medida de extensão de uma superfície, ou seja, é o quanto de espaço que uma forma bidimensional (com comprimento e largura, sem altura ou profundidade) ocupa. Um exemplo mais visual pode ser um chão a ser coberto por cerâmica, a extensão a ser coberta pela cerâmica é a área do chão.
O conceito de área vai bem além do seu uso na Matemática. Ela é usada na Geografia, principalmente para delimitar países, estados, também é usada na agricultura, construção civil e na produção de produtos como tecidos, tapetes, entre outros.
Juntamente da área, temos o perímetro, que é o comprimento do contorno que vai delimitar a área, uma forma de entender a maneira que esses conceitos trabalham juntos é imaginar um jardim com uma cerca ao redor, o jardim no interior é a área e a cerca que a delimita é o perímetro.
Como a área é uma medida bidimensional, composta por comprimento e largura, suas unidades de medida são sempre quadradas. No sistema métrico internacional utilizamos o m² para área, e seus múltiplos e submúltiplos variam por fatores de 100 (10²).
Tabela de conversão de medidas:
Área de figuras
Retângulo e Quadrado
O retângulo é formado por dois pares de lados congruentes. Portanto, sua área é calculada pela multiplicação da base pela altura.
Fórmula:
Área = base × altura
A = b × h
Exemplo:
Se um retângulo tem base de 8 m e altura de 3 m, sua área é:
A = 8 m × 3 m = 24 m²
Enquanto que o quadrado, um caso especial de um retângulo, tem quatro lados iguais e sua área é obtida multiplicando o lado por ele mesmo.
Fórmula:
Área = lado × lado
A = l × l = l²
Em um quadrado, a diagonal (d) divide a figura em dois triângulos retângulos congruentes. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
d²=l²+l² => d²=2l² => l²=d²/2
Sabendo que a área do quadrado e substituído temos que
A=d²/2
Área do Paralelogramo
Os paralelogramos são figuras de quatro lados onde os lados opostos têm o mesmo comprimento. Sua área é dada pelo produto da base pela altura relativa a essa base (linha tracejada).
Observa-se que a altura não é o comprimento do lado inclinado, mas sim a distância perpendicular entre a base e seu lado oposto.
Fórmula:
Área = base × altura
A = b × h
Ao recortar esse triângulo e colocar ele do outro lado, geometricamente ele forma um retângulo.
Área do triângulo
A área do triângulo é calculada pelo produto da base pela altura dividido por dois. A divisão por dois é por conta de o triângulo ser metade de um paralelogramo.
Fórmula:
Área = (base × altura)/2
A = (b × h)/2
Atenção para os diferentes tipos de triângulo:
- Equilátero: todos o lados são iguais, então a base vai ser o tamanho do lado L e a altura h divide perpendicularmente o meio da base;
- Isósceles: por apresentar dois lados iguais e um diferente, sua base é o lado diferente e sua altura é a mediana da base;
- Retângulo: é formado por dois catetos e pela hipotenusa, além de possuir um ângulo de 90°, a base vai ser um dos catetos e altura o outro cateto; e
- Escaleno: como todos os lados são distintos, a base por ser qualquer lado e sua altura vai cortar o vértice oposto a base de modo que forme um ângulo de 90° com a base.
Outra forma de calcular a área de um triângulo é pela fórmula de Heron, ela parte do princípio que é conhecido o comprimento dos três lados, sem precisar da altura, o que é bem útil para triângulos escalenos.
Se um triângulo tem lados de medidas a, b e c, sua área A é dada por:
Onde p é o subperíodo, ou seja, metade do perímetro (p = (a+b+c+)/2)
Quando se tem dois lados do triângulo e também o valor do ângulo entre eles, é interessante usar o seno para determinar a área.
Fórmula:
Área do Trapézio
O trapézio é um quadrilátero que tem pelo menos um par de lados paralelos. Sua área é: A=(B+b)*h2, onde h é a distância entre as bases. No trapézio retângulo, a altura coincide com um dos lados da figura e nos outros trapézio é possível calcular a altura usando o teorema de Pitágoras. Sua altura, igual do paralelogramo é possível ser achada fazendo o recorte de um triângulo
Área do Losango
Os losangos, mais um tipo especial de paralelogramo, tem os quatro lados congruentes.
Por ser um paralelogramo sua área
ou
usando as diagonais. É possível inscrevê-lo em um retângulo, onde a base e altura do retângulo serão respectivamente as diagonais 1 e 2.
Área de polígonos regulares
Um polígono regular é uma figura geométrica plana que possui todos os lados congruentes (com mesmo comprimento) e todos os ângulos internos congruentes (de mesma medida).
Temos duas principais formas de calcular a área de polígonos regulares. A primeira é usando o número de lados do polígono:
Onde a é o apótema, que é a menor distância do centro do polígono até o ponto médio de um dos lados. Usando diretamente o apótema fica:
onde P é o perímetro.
Exemplo: Um hexágono regular tem lado L=4cm e apótema a≈3.464cm. Calcule sua área.
- Passo 1 – achar o perímetro P=6×4=24cm; e
- Passo 2 – usar a fórmula da área A=(P×a)/2=(24×3.464)/2 = 83.136/2 =41.568cm
Área do círculo e setor circular
Ao calcular a área de um círculo, trata-se de toda a área interna, à circunferência é somente o contorno. A área do círculo é dada por: A = πR².
O valor π (pi) é uma constante matemática, que é a razão entre o perímetro da circunferência pelo seu diâmetro. Por ser um número irracional com infinitas casas decimais, o valor utilizado depende da precisão que o problema exigir.
A área de um setor circular A, região delimitada por dois raios e um arco, vai se assemelhar bastante a uma fatia de pizza. Se o ângulo entre os raios estiver em graus utilizamos a área
, caso esteja em radianos é
, onde o ângulo central é θ e o raio da circunferência é r.
Um segmento circular é a região de um círculo “cortada” por uma corda. É a área entre uma corda e o arco que ela subtende. Parece uma “parte recortada” de um círculo. A área do segmento é a área do setor circular menos a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda.
Ela é obtida por:
Área de figuras compostas
Figuras compostas são formadas pela junção de duas ou mais formas geométricas simples (como quadrados, retângulos, triângulos e semicírculos). Para calcular sua área, utilizamos 3 análises:
- Identificar todas as formas simples que compõem a figura;
- Calcular as áreas individualmente e subtrair se houver recortes; e
- Incluir partes das unidades de área coerentes com o problema.
Alcance a aprovação com o Estratégia Vestibulares!
Aqui no EV, você encontra conteúdos completos de Exatas, Humanas e Linguagens, focados em tudo o que cai nos principais vestibulares do País. Escolha o plano ideal para suas metas e foque nas áreas que mais precisa para conquistar o curso dos seus sonhos. Clique no banner e comece agora mesmo!
