Binômio de Newton: o que é, como calcular e usos

Binômio de Newton: o que é, como calcular e usos

O físico e matemático Isaac Newton, ao analisar polinômios elevados a uma potência qualquer, percebeu alguns padrões numéricos, formulando o “binômio de Newton” com base na descoberta, uma fórmula que facilita a fatoração de expressões matemáticas.

Quer saber mais sobre esse assunto? Acompanhe o artigo a seguir e veja como esses cálculos estão envolvidos no triângulo de pascal, fatoração de expressões, além de entender a aplicação do tema nas provas de vestibulares.

O que é binômio?

Dentro da matemática, binômios são expressões que possuem dois termos. Um termo é a porção que possui um coeficiente numérico e incógnitas, representadas por letras — para que seja considerado um termo, somente multiplicações podem ocorrer entre os algarismos e letras, como em:

  • a.b
  • 2.x.y
  • 4.x

Com essa classificação em mente, os matemáticos definiram que os termos que possuem um só termo são chamados de monômios. E, por fim, equações com dois termos, relacionados por operações de soma e subtração são denominados de binômios.

Como sequência, expressões de três termos são os trinômios e, quando o número de termos é maior ou igual a quatro, encontramos os chamados polinômios.

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O conceito de binômio de Newton

Isaac Newton (o mesmo que formulou as leis físicas de Newton), ao estudar os binômios percebeu padrões quanto a forma de elevar essas expressões a enésima potência n, em que n pertence ao conjunto dos números naturais. 

Por meio das regularidades encontradas, o estudiosos criou fórmulas que permitem “destrinchar” a potenciação de um binômio, alcançando um polinômio equivalente.

Esse conhecimento é de grande importância pois aparece nos chamados produtos notáveis da matemática, no triângulo de Pascal, na análise combinatória e nos estudos estatísticos — contribuindo para  formulação de artigos científicos e dados comprováveis.

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Estudo dos binômios simples

Quando pensamos em números “pequenos” como n=1, n=2 ou n=3, a fatoração binomial pode se mostrar muito simples. 

Sabemos, conforme os princípios da potenciação, que elevar um número a 1, por exemplo, é o equivalente a ele mesmo, de forma que:

(a+b)1 = a + b

Seguindo esse princípio, a potência de 2 (quadrada) representa a multiplicação de um número por ele mesmo. No caso dos binômios:

(a+b)2 = (a+b).(a+b)

Com a propriedade distributiva — quando cada termo de uma expressão é multiplicado por todos os termos da outra — podemos fatorar:

(a+b)2 = a.a + a.b + b.a + b.b 
(a+b)2 = a2 + 2.a.b + b2

O cálculo acima demonstrado é o primeiro dos produtos notáveis e, como instrumento para decorar, utiliza-se a frase “o primeiro ao quadrado, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o segundo ao quadrado”. Já ouviu esse jargão?!

Prosseguindo, um binômio elevado ao cubo (terceira potência) é o mesmo que ele multiplicado por ele mesmo e por ele mesmo, de novo, como mostra a equação:

(a+b)3 = (a+b).(a+b).(a+b)

Com a mesma ideia da fatoração distributiva, podemos proceder da seguinte forma:

(a+b)3 = (a+b)2.(a+b)
(a+b)3 = (a2 + 2.a.b + b2).(a+b)
(a+b)3 = a2.a + a2.b + 2.a.b.a + 2.a.b.b + b2a + b2.b
(a+b)3 = a3 + a2.b + 2.a2.b + 2.a.b2 + b2a + b3

(a+b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3

Perceba, com os processos feitos até aqui, como as etapas começam a ficar complexas, longas e demandam muito tempo e atenção do efetuador. Nesse sentido, o binômio de Newton aparece como solução.

Expansão binomial

Ao observar as fatorações dos binômios elevados à enésima potência, Newton percebeu um padrão nos coeficientes de cada um dos termos. Além disso, o matemático percebeu a relação entre essas regularidades e análise combinatória. Veja:

(a+b)0 = 1
(a+b)1 = a + b
(a+b)2 = a2 + 2.a.b + b2
(a+b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + b4

Observe como os expoentes da incógnita a diminuem com o desenvolver da equação, ao mesmo tempo em que o expoente de b aumenta proporcionalmente:

(a+b)4 = a4.b0 + 4.a3.b1 + 6.a2.b2 + 4.a1.b3 + b4.a0

Com base nesse raciocínio, foi criada uma fórmula que utiliza a fórmula da combinação simples, onde Cn,p = n! / (n-p)!.p! 

binômio de newton fórmula

Triângulo de Pascal 

Com base nessa fórmula, foi construído padrão geométrico chamado de triângulo de pascal. Ele construído com sendo o primeiro e último termo de cada linha e preenchido pela soma entre os dois termos acima do valor, acompanhe:

triângulo de pascal e binômio de newton

A primeira linha é chamada de linha 0, número que representa o expoente das incógnitas no binômio. A segunda linha é a 1, e representa os expoentes das incógnitas em um binômio elevado à primeira potência. 

Como você pode observar, a quarta linha está na terceira potência e representa a fatoração do binômio (a + b)3.

Exercícios sobre binômio de Newton

Agora que você está a par da fórmula do binômio de Newton, veja uma aplicação do assunto em vestibulares:

FGV 2013

Desenvolvendo-se o binômio P(x) = (x+1)5 podemos dizer que a soma de seus coeficientes é

a) 16
b) 24
c) 32
d) 40
e) 48

Conforme aprendemos até aqui os coeficientes são dados pela fórmula da combinação, assim:

aplicação do binômio de newton

Podemos entender que n = 5, então:

  • O primeiro coeficiente é dado por C5,0 = 1;
  • O segundo por C5,1 = 5;
  • O terceiro coeficiente pode ser calculado com C5,2 = 10;
  • Já o quarto provém da fórmula C5,3 = 10;
  • O quinto valor numeral vem de C5,4 = 5; e
  • Por fim, o sexto e último coeficiente é dado por C5,5 = 1

A soma entre esses coeficientes então, será 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32. Que também corresponde à soma dos elementos que compõem a sexta linha do triângulo de pascal. A alternativa correta, portanto, é a letra C.

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