As circunferências são figuras muito presentes no estudo da Geometria Analítica. Entre as diversas propriedades relacionadas às circunferências, temos o eixo radical, uma ferramenta útil e prática para resolução de problemas envolvendo duas ou mais circunferências.
Entender esse assunto é importante para quem quer ir bem no Enem e vestibulares, pois ele aparece em algumas questões de Matemática. Neste texto, iremos explorar o tema de maneira didática, para que você compreenda não apenas as fórmulas, mas também o raciocínio e a lógica por trás delas. Vamos lá?
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Relembrando potência de ponto
Antes de falar sobre o eixo radical, precisamos relembrar o conceito de Potência de Ponto. Nesse contexto, para uma circunferência qualquer, temos diferentes relações métricas entre segmentos internos, tangentes e secantes que se cruzam em um ponto interno ou externo à circunferência.
Há três casos principais em que utilizamos a potência de ponto:
- Ponto interno (duas cordas se cruzando no interior da circunferência): O produto dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra.
a . b = c . d
- Ponto externo com duas secantes: O comprimento total de cada secante multiplicado pela sua parte externa tem o mesmo valor para as duas secantes.
a . (a + b) = c . (c + d)
- Ponto interno com uma secante e uma tangente: O produto da secante pelo seu trecho externo é igual ao quadrado da tangente.
a . (a + b) = c2
Definição de eixo radical
O eixo radical de duas circunferências não concêntricas é o conjunto de pontos que têm a mesma potência em relação a ambas. Essa afirmação, em termos geométricos, significa que, para qualquer ponto P do eixo radical, os segmentos de reta traçados de P para cada uma das circunferências têm o mesmo comprimento. Em outras palavras, P “vê” as duas circunferências do mesmo jeito.
Para duas circunferências que se intersectam em dois pontos distintos, o eixo radical será a reta que une esses dois pontos. Já para duas circunferências tangentes, o eixo radical é a tangente comum às duas circunferências que passa pelo ponto de intersecção.
É importante se atentar ao fato de que, se as circunferências forem concêntricas (mesmo centro), o eixo radical não existe, pois todos os pontos terão potências diferentes, já que os raios são distintos mas a distância ao centro é a mesma.
Propriedades do eixo radical
O eixo radical não é apenas um conceito abstrato; ele possui propriedades bem definidas que facilitam sua visualização e aplicação em problemas práticos:
- É sempre uma reta: ao subtrair as equações das duas circunferências, os termos quadráticos desaparecem, restando uma equação linear que representa uma reta.
- É perpendicular à reta que liga os centros das circunferências: essa relação de perpendicularidade é essencial para entender a geometria do problema e para traçar esboços que ajudam na resolução.
- Comportamento em diferentes casos:
- Circunferências secantes: o eixo radical passa pelos dois pontos de interseção.
- Circunferências tangentes: o eixo radical é a reta tangente comum no ponto de tangência.
- Circunferências externas ou internas sem interseção: o eixo radical existe, mas não toca nenhuma das circunferências; ele fica “entre elas” ou fora, dependendo das posições e raios.
Encontrando a equação do eixo radical
Na prática, os problemas de vestibular muitas vezes pedem a equação do eixo radical a partir das equações das circunferências.
Suponha que temos as equações gerais de duas circunferências:
x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0
x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0
Se subtrairmos as equações, os termos x2 e y2 se anulam, e obtemos:
(A1 – A2)x + (B1 – B2)y + (C1 – C2) = 0
Essa é uma equação linear, a qual representa a reta do eixo radical.
Aplicações do eixo radical
O eixo radical é mais do que apenas uma reta no plano. Ele reúne conceitos de geometria e álgebra em uma ferramenta versátil para resolver problemas que envolvem duas ou mais circunferências.
Ao entender o conceito de potência de um ponto, a definição e as propriedades do eixo radical, além de saber como encontrar sua equação, você terá em mãos um recurso poderoso para enfrentar problemas de geometria analítica, pois o eixo radical não é apenas um conceito teórico, ele tem diversas aplicações importantes, como:
- Determinar a reta que contém a corda comum entre duas circunferências secantes;
- Encontrar a reta tangente comum quando as circunferências são tangentes; e
- Localizar pontos que têm tangentes de mesmo comprimento para duas circunferências.
Erros comuns
Ao estudar o eixo radical, alguns erros aparecem com frequência:
- Tentar calcular o eixo radical para circunferências concêntricas: não existe, já que todos os pontos têm potências diferentes.
- Erros algébricos ao subtrair as equações: é comum se perder nos sinais.
Confundir o eixo radical com a linha dos centros: lembre-se, eles são perpendiculares!
Centro radical
Quando temos três circunferências, os eixos radicais tomados dois a dois se cruzam em um ponto denominado centro radical. Esse ponto tem a mesma potência em relação às três circunferências, o que pode ser útil em problemas de de concorrência de retas e outras propriedades geométricas.
Questão sobre eixo radical
Questão inédita – Estratégia Militares (2021)
Considere os círculos da figura de raios 10 e 4 e seu eixo radical. Se é tangente em J ao círculo menor, calcule a área do triângulo ATH.
Resolução
GABARITO: (11881)/(150)
Se J é o ponto de tangência e o raio do círculo menor é 4, então, o triângulo retângulo ABJ é o triângulo retângulo 3:4:5. Vamos inserir as variáveis na figura:
Podemos encontrar o valor de x, usando a definição de eixo radical:
Analisando o triângulo retângulo ABJ, temos:
tgα=(4)/(3)
Vamos encontrar a altura TH:
A área do ΔATH é dada por:
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