Lógica e operações básicas da matemática são o princípio para a construção de toda essa ciência e outras áreas exatas. Então, aprender a lógica matemática corretamente é um conhecimento necessário para responder diversas questões dos vestibulares, já que tal capacidade facilita a interpretação de problemas, expressões e equações.
As principais informações para a compreensão de lógica e operações básicas estão descritas neste artigo, com detalhes sobre proposições, tabelas verdade, adição, subtração, divisão e multiplicação. Ainda, será comentada uma questão de vestibular que aborda o tema, para demonstrar um raciocínio lógico utilizado na resolução de provas de matemática. Leia abaixo e saiba mais.
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Lógica
A lógica matemática é um princípio em que uma proposição será apresentada, geralmente uma afirmativa, e as conexões apresentadas na sentença devem fazer um sentido lógico. Nesse caso, há uma relação entre português e matemática, pois, as palavras escolhidas podem mudar completamente o significado lógico matemático da frase.
Proposições
Proposições podem ser frases, palavras, símbolos e até mesmo expressões matemáticas que expressam uma ideia. Quando avaliadas do ponto de vista lógico, essas proposições podem ser tomadas como verdadeiras ou falsas.
Por exemplo, ao propor que “O Estratégia Vestibulares é um curso preparatório para provas nacionais de entrada para faculdades” há uma verdade lógica e a proposição será considerada verdadeira.
Do lado contrário, se for proposto que “1,5 = 4/7” trata-se de uma proposição falsa, uma vez que não há lógica matemática que, conforme as operações básicas de multiplicação e divisão torne essa equação verdadeira.
É importante ressaltar também que, na lógica matemática, uma proposição só pode ser ou verdadeira, ou falsa. É impossível que a mesma afirmação seja, ao mesmo tempo, verdadeira e falsa.
Tabelas Verdade
O raciocínio lógico pode ser construído a partir de tabelas verdade, que permitem analisar se uma proposição é verdadeira ou não. Geralmente, essa ferramenta será utilizada quando a afirmação avaliada é formada por mais de uma proposição, então é necessário relacioná-las entre si para chegar a uma conclusão.
Para facilitar a construção da tabela verdade, é possível nomear cada proposição com uma letra, que geralmente é p ou q. Então, os seguintes símbolos podem ser utilizados, com seus respectivos significados:
- ~ (negação – não)
- ^ (conjunção – e)
- v (disjunção – ou)
- → (condição – se … então)
- ↔ (condição bidirecional – …se e somente se…)
O uso da tabela verdade é realizado da seguinte forma: observa-se o sentido utilizado na proposição, seja negação, conjunção, disjunção ou outros. Então avalia-se qual será o resultado da proposição completa, quando uma das duas proposições seja verdadeira ou falsa, em suas diferentes combinações, como está demonstrado a seguir.
4 é divisível por 2 e 6 é divisível por 5
Considerando que:
4 é divisível por 2 = p
e = ^
6 é divisível por 5 = q
Então a tabela verdade será:
| p | q | p^q |
| Verdadeira | Verdadeira | Verdadeira |
| Falsa | Verdadeira | Falsa |
| Verdadeira | Falsa | Falsa |
| Falsa | Falsa | Falsa |
Observe que, em uma conjunção, como ambas as proposições estão inclusas pelo conectivo lógico “e”, se uma das proposições for falsa, automaticamente a proposição composta p^q será falsa também.
Implicação Lógica
Implicação lógica é o conceito que avalia proposições compostas a partir do tipo de relação estabelecida entre as afirmações integradas. No exemplo do tópico anterior por exemplo, da conjunção, quando uma das proposições for falsa, a composição também será falsa.
Entretanto, nos casos de proposições compostas do tipo disjuncional, a implicação lógica será outra, acompanhe abaixo.
O céu é azul ou mar é vermelho.
Do ponto de vista lógico, essa inferência será verdadeira se pelo menos uma das duas proposições for verdadeira. Afinal, sendo o céu azul e o mar não-vermelho, ainda assim a palavra “ou” permite que apenas uma parte da frase esteja correta. Nesse caso, a tabela verdade será:
| p | q | p🇻q |
| Verdadeira | Verdadeira | Verdadeira |
| Falsa | Verdadeira | Verdadeira |
| Verdadeira | Falsa | Verdadeira |
| Falsa | Falsa | Falsa |
Equivalência Lógica
Equivalência lógica entre proposições é quando elas possuem um valor igual e, consequentemente, apresentarão uma tabela verdade idêntica. A primeira forma de estudar isso é com proposições iguais como em “amanhã vai chover” e “choverá amanhã”, ambas as proposições apresentarão a mesma tabela verdade de forma que p ^ p = p.
Outra forma de compreender essa equivalência é por meio de uma intersecção entre multiplicação e lógica. Seja:
p = 4 divide 20
q = 2 divide 20
então p ^ q = 4 divide 20 e 2 divide 20
assim como p v q = 2 divide 20 e 4 divide 20.
Dessa maneira, na construção da tabela verdade, o resultado será tal que p v q = q v p.
Leis da Lógica
A lógica possui três leis básicas que norteiam todo o estudo de proposições:
- A lei da não-contradição, que propõe que uma afirmação não pode negar-se a si mesma, não podendo afirmar uma coisa e seu oposto, ao mesmo tempo;
- Já a lei da identidade trata que uma toda proposição ou afirmação é, obrigatoriamente, igual a si mesma, ou seja, p = p, q=q;
- Por fim, a lei do terceiro excluído trata sobre o conceito das proposições. Nesse caso, ou X é X ou X é não-X, não existe uma terceira opção. Por exemplo, se estamos analisando se algo é pão, ou esse objeto é pão ou não é pão. Assim como, ou algo é verdadeiro ou algo é não-verdadeiro (falso), sem terceiras vias de resposta.
Operações Básicas
A resolução de certos problemas lógicos ou ainda problemas matemáticos que utilizam a lógica, pode utilizar as operações básicas da matemática, que são ensinadas desde o início do processo de alfabetização, por serem a base que fundamenta as ciências exatas.
Adição e Subtração
Adição e subtração são duas das operações básicas que possibilitam somar ou diminuir a quantidade de valores em um cálculo. De forma que o símbolo que representa a adição é “+” e a subtração “-”.
Adição
A palavra adição é correlata de “adicionar”, ou seja, nessa operação, são somados, adicionados, acrescentados valores ao cálculo, de forma que x + y = z, que deve ser lido como “x mais y é igual a z”.
A soma possui algumas propriedades únicas que estão listadas abaixo:
- É uma operação comutativa, em que a ordem dos fatores não altera o resultado do cálculo (a + b + c + y = c + y + b + a = b + c + a + y = c + a + y + b);
- Ainda, é uma operação em que, independentemente da ordem em que for realizada, os resultados serão iguais, tal qual em x + (y + z) = (x + y) + z. Essa propriedade é chamada de associatividade;
- Toda vez que o 0 aparece em uma soma é um elemento neutro, que não altera os resultados (a + b + 0 = a + b);
- Por fim, quando dois elementos opostos ou simétricos são somados, o resultado será nulo, como em b + (-b) = 0.
Subtração
Do outro lado, temos a operação inversa da adição, que é a subtração. Isso significa que o cálculo da subtração é realizado pela diminuição, redução dos valores dentro no cálculo, com a estrutura básica: x – y = z, lida como “x menos y é igual a z”.
Exemplos
Em todo caso, as letras apresentadas na estrutura devem ser substituídas por números reais para realizar a operação, como nos exemplos:
- 3 + 4 = 7;
- 5 + 3 = 8;
- – 25 + 4 = -21
- 25 – 7 = 18;
- 43 – 21 = 22;
- 74 – 85 = -11, e assim por diante.
Multiplicação e Divisão
Multiplicação e divisão também são operações inversas e, por isso, são estudadas em conjunto. Enquanto a multiplicação é importante para aumentar, avolumar, relacionar dois números de forma a obter várias vezes a mesma operação, a divisão serve para fragmentar, dividir esses valores.
Multiplicação
Primeiramente, a multiplicação é determinada a partir dos símbolos x, * ou . e, com a estrutura: a x b = c, a.b = c ou a*b=c. Em todos os casos a leitura da operação básica será “a vezes b é igual a c”.
A interpretação desse cálculo é realizada da seguinte forma:
2 x 3 = 6
Isso significa que 2 vezes o 3 é igual a 6 de maneira que 2 x 3 = 3 + 3 = 6.
A multiplicação também possui a comutatividade, assim, alterar a ordem dos fatores não altera o resultado da conta:
3 x 2 = 6
A interpretação, agora, é que 3 vezes o número 2 é: 3 x 2 = 2 + 2 + 2 = 6.
Outra propriedade da multiplicação é a distributividade, demonstrada na imagem abaixo.
Assim como na adição, a multiplicação também é associativa, de forma que alterar a ordem dos passos dentro de uma expressão multiplicativa não altera o resultado: (a x b) x c = a x (b x c), (4 x 5) x 3 = 20 x 3 = 60, assim como 4 x (5 x 3) = 4 x 15 = 60.
No caso da multiplicação, o elemento neutro é o número 1. Sempre que ele aparece como fator, não altera o resultado na conta, ou seja a x b = a x b x 1.
Por outro lado, o elemento inverso da operação multiplicativa é tal que inverso de a = 1/a. A relação entre eles é dada por a . (1/a) = 1.
Divisão
Na divisão ou fração, a ideia é dividir um número (divisor) por outro valor (dividendo). Ou seja, é pegar um todo x e fracioná-lo em y partes iguais, com um resultado z: x/y = z, que também pode ser representado por x ፥ y = z e a operação é lida como “x dividido por y é igual a z”.
Como a multiplicação e a divisão são operações inversas, há uma relação em que:
Se x ፥ y = z,
Então z*y = x
Ordem de Operações
A ordem das operações é outro fator importante no estudo das operações básicas da matemática, principalmente para a resolução de expressões algébricas que possuem muitos fatores e envolvem diferentes operações.
A primeira coisa a ser feita é resolver todas as operações que estão nos parênteses. Sempre seguindo a seguinte ordem:
- primeiro resolvendo as exponenciações;
- depois as multiplicações e as divisões; e
- depois as adições e subtrações.
Note que as operações de multiplicação e divisão estão dentro da mesma etapa, então, quando for resolvê-las, siga a ordem de leitura ocidental: da esquerda para a direita. O mesmo deve acontecer com a adição e subtração.
Veja também: Regra de sinais: o que é e como funciona
Expressões Algébricas
A imagem acima mostra como foi resolvida uma expressão algébrica, seguindo a ordem das operações. O primeiro passo foi resolver a operação dentro do parênteses (5n – 2n = 3n). Em seguida, o solucionador adicionou o resultado da exponenciação 33 = 27. Realizados esses passos, segue com a divisão e multiplicação, na ordem da esquerda para a direita (primeiro a divisão (27/9 = 3), e depois a multiplicação (-3. 3n = -9n).
Assim, sobram operações de adição e subtração. Como estão no mesmo nível de hierarquia, basta resolver o cálculo da esquerda para a direita, sem ordem de prioridade. Note, também, que trata-se de uma expressão algébrica com a incógnita “n” e somente termos com o mesmo fator multiplicativo foram somados: 5n – 9n = – 4n e o +3 = +3, de forma que o cálculo foi simplificado para -4n + 3.
Questão sobre lógica e operações básicas
Enem (2020)
Um motociclista planeja realizar uma viagem cujo destino fica a 500 km de sua casa. Sua moto consome 5 litros de gasolina para cada 100 km rodados, e o tanque da moto tem capacidade para 22 litros. Pelo mapa, observou que no trajeto da viagem o último posto disponível para reabastecimento, chamado Estrela, fica a 80 km do seu destino. Ele pretende partir com o tanque da moto cheio e planeja fazer somente duas paradas para reabastecimento, uma na ida e outra na volta, ambas no posto Estrela. No reabastecimento para a viagem de ida, deve considerar também combustível suficiente para se deslocar por 200 km no seu destino.
A quantidade mínima de combustível, em litro, que esse motociclista deve reabastecer no posto Estrela na viagem de ida, que seja suficiente para fazer o segundo reabastecimento, é
A) 13.
B) 14.
C) 17.
D) 18.
E) 21.
Resposta: Ele vai sair com o tanque cheio de 22 L. Para andar por 500 – 80 = 420 km, ele consumiu
420 / 100 ∙ 5 = 21 L
Restando apenas 1 L no tanque.
Em seguida, ele irá andar 80 km para chegar ao destino, 200 km no destino e mais 80 km pra retornar ao posto. Ele precisará de
(80 + 200 + 80)/100 ∙ 5 = 18 L
Como o tanque ainda possui 1 L, ele abastecerá com 17 L.
Alternativa correta: C.
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