Uma equação do primeiro grau acontece quando todos os termos e incógnitas da expressão matemática não possuem expoentes. Para resolvê-las é importante conhecer operações aritméticas, além de que dominar esse conhecimento é um grande passo para sua evolução nos estudos para o Enem.
Acompanhe, neste artigo, informações sobre as equações do primeiro grau, como classificação, formas de resolução, estrutura geral, além de exercícios de vestibulares resolvidos sobre o tema.
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O que é equação do primeiro grau?
Equação grau é o conceito matemático que abrange todas as expressões numéricas que possuem pelo menos uma incógnita. A palavra “grau” diz respeito aos expoentes presentes naquela expressão — por exemplo, se o maior expoente entre os termos é o 3, a equação pertence ao terceiro grau.
Com essas informações, podemos definir que uma equação do primeiro grau é aquela em que existe uma ou mais incógnita (geralmente representadas por letras minúsculas, como x, y ou z), além de que o maior expoente encontrado entre esses valores desconhecidos é o número 1.
Na lista abaixo, veja exemplos de expressões matemáticas que pertencem ao primeiro grau e outras que não estão neste grupo:
- Na igualdade 4x2 = 12x, o maior expoente encontrado entre as incógnitas é o número dois (4x2), ou seja, esta não é uma equação do primeiro grau;
- Já a expressão 7 + 5 = 121 também não pode ser enquadrada neste grupo. Isso acontece porque, embora o maior expoente seja o número 1, não existem incógnitas que transformem o cálculo em uma equação;
- Em se tratando de 17 + 14x + y + 15x = 12y – 22x, podemos concluir que existe uma equação de primeiro grau, uma vez que os termos desconhecidos possuem expoente igual a 1, além de que existem uma ou mais incógnitas a serem desvendadas.
Termos e membros da equação do primeiro grau
A forma geral de representação de uma equação do primeiro grau é a seguinte:
ax + b = 0
De forma que a é um número real, diferente de zero. Enquanto isso, b deve ser um número real qualquer. Como foi mencionado acima, x representa o valor desconhecido — não necessariamente deve ser um x para que seja considerado uma incógnita.
O conceito de “membro da equação” diz respeito a que lado igualdade é observado, seguindo o sentido de leitura ocidental, ou seja, da esquerda para a direita. Assim, o primeiro membro equacional é o que está situado à esquerda da igualdade. Ao mesmo tempo, o segundo membro é o que fica na lateral direita do símbolo.
A partir da fórmula geral teremos que:
ax + b → primeiro membro
0 → segundo membro
Em uma equação qualquer o conceito de termo trata sobre aqueles elementos da expressão numérica que apresentam valor conhecido e uma incógnita, geralmente multiplicados entre si. Alguns cálculos possuem apenas um termo, outros possuem variados termos, que se separam por meio de sinais de adição (+) ou subtração (-).
Vamos estudar a estrutura geral da equação de primeiro grau abaixo:
4x + 12y = 15
- Primeiro membro: 4x + 12y;
- Segundo membro: 15
- Termos: 4x e 12y, que estão separados por um sinal de soma.
- Incógnitas: x e y, cada uma multiplicada por um valor, que pode ser chamado de coeficiente.
Tipos de equações do primeiro grau
Equações equivalentes
Equações do primeiro grau equivalentes são aquelas que, mesmo com expressões e termos diferentes, encontra-se um valor igual para as incógnitas. Por exemplo:
(I) 5x + 7 = 32
(II) x – 2 = 3
O resultado de ambos os cálculos é igual, com x=3. Assim, as equações I e II são equivalentes entre si.
Equações numéricas
Esse tipo equacional, como aponta o nome, possui uma predominância de números na expressão, ou seja, aparece um único tipo de letra como incógnita e todo o resto do cálculo é descrito com números. Entenda melhor com o modelo a seguir:
7y + 12 = 23 – 7 + 2
Equações literais
De maneira semelhante à classificação anterior, uma equação do primeiro grau literal apresenta letras não somente como incógnitas, mas também como coeficientes nos termos, como vemos abaixo:
2x = ax + 9
Equações possíveis e determinadas
Equações possíveis e determinadas é o grupo de expressões numéricas em que a resolução dos cálculos resulta em um número finito de valores. Os cálculos listados abaixo fazem parte deste grupo:
- 25 + 2x = 27 → única solução possível é x = 1;
- 12 + 12x = 36 → única solução possível é x = 2; e
- 35 – 5x = 0 → única solução aceitável é x = 7.
Equações possíveis e indeterminadas
Do lado oposto ao que vimos no tipo equacional acima, quando uma equação do primeiro grau é possível e indeterminada, entende-se que é possível encontrar infinitas soluções que resolvem esse problema.
6y + 2x = 240
Essa expressão admite mais de uma solução possível, veja algumas:
6.20 + 2.60 = 240 (x = 20 e y = 60)
6.40 + 2.0 = 240 (x = 40 e y = 0)
6.10 + 2.90 = 240 (x = 10 e y = 90)
Equações impossíveis
Equações impossíveis são aquelas que, em algum momento do cálculo, os resultados serão divergentes. Essas expressões realmente não podem ser resolvidas, por isso recebem essa classificação.
4x + 12 = 4x + 25
4x – 4x = 25 – 12
0 = 13
Perceba como os valores encontrados na última igualdade não são matematicamente aceitáveis. Assim, a solução para essa equação do primeiro grau é vazia e pode ser representada por S = Ø.
+ Veja também: Inequações: o que são, como resolver e questões
Equações: principais tipos, fórmulas e aplicações
Como resolver uma equação do primeiro grau
Para entender como se resolve uma equação do primeiro grau, é necessário saber que algumas operações são opostas entre si. Assim, um número que está multiplicando no primeiro membro da equação, ao ser transferido para o segundo membro terá função de dividir.
4x = 12 + 5
4x = 17
x = 17 ፥ 4
Essa permuta deve ocorrer sempre, de maneira que multiplicação passa para o outro membro como divisão e divisão para para o outro lado como multiplicação.
25 + 35 = 120 ፥ x
60 = 120 ፥ x
60.x = 120
x = 120 ፥ 60
x = 2
Um valor que aparece somado no lado esquerdo da equação, passará para o lado direito como subtração. O contrário também deve acontecer, os números que se apresentam negativos devem ir para o outro membro positivos, como você pode acompanhar a seguir:
12 + x = 20
x = 20 – 5
x = 15
35 – x = 2
35 – 2 = x
33 = x
Resolução de questões sobre equação do primeiro grau
UNESP 1994
Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 81 km restantes, a extensão dessa estrada é de
a) 125km
b) 135km
c) 142km
d) 145km
e) 160km
Considera-se que deseja-se saber o valor total da estrada, que será chamado de x. Observe, no enunciado que uma empreiteira ficou responsável pela pavimentação de 2/5x do trecho; consequentemente, a outra tem o encargo de terminar os outros x – 2/5x = 3/5x.
Se a segunda empresa gastou material para 81km, significa que 3/5x = 81km. Com isso, teremos que:
3/5.x = 81
3x = 81.5
3x = 405
x = 135km → alternativa D
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